Wie hängen Hoch- und Tiefpunkt mit der (ersten) Ableitung f´(x) zusammen?
4 Antworten
Okay keine Sorge, ist ganz ez
Die erste Ableitung gibt die Steigung der Normalfunktion an. Hoch- und Tiefpunkte der Normalfunktion f(x) haben die Steigung 0, da sie ja oben/ unten praktisch flach sind. Wenn du dir vorstellt, du legst eine Tangente an die Punkte der Funktion f(x) an, dann hat diese Tangente ja eine Steigung, die der Steigung des Punktes an dem sie angelegt ist entspricht. So jetzt stell dir vor, wir lassen diese Tangente in Richtung Hochpunkt rutschen. Zu erst wird die Tangente (und somit die Steigung) immer größer, da wir uns ja praktisch am Hang eines Berges befinden. Danach wird die Steigung flacher, da wir uns ja langsam der Spitze nähern und ganz oben, am höchsten Punkt liegt die Tangente flach und parallel zur x-Achse. Genau an dieser Stelle ist der Hochpunkt.
Wir wissen: Die erste Ableitung gibt die Steigung der Normalfunktion an einem Punkt
An Hoch- und Tiefpunkten ist die Steigung = 0
Das können wir uns super zunutze machen, indem wir sagen f´(x)=0, damit können wir Hoch- und Tiefpunkte berechnen.
Du setzt die erste Ableitung gleich null und was du dann für x rausbekommst sind deine Extrema.
Hoffe ich konnte helfen,
liebe grüße
Tipp: Was gibt denn der Wert der ersten Ableitung an? Also wenn ich die erste Ableitung zum Beispiel von f(x)=x² berechne, f'(x)=2x bekomme und dort x=3 einsetze. Was sagt mir f'(3)=6 über meine Funktion? Wo findet sich dort diese 6?
Nicht ganz! Wenn ich die Funktion selbst hernehme, also f(x), und dort meine Stelle x=3 einsetze, dann bekomme ich tatsächlich den y-Wert der Funktion an dieser Stelle: f(3)=3²=9. Aber die Ableitung liefert, wie du siehst, einen anderen Wert, nämlich 6 statt 9 -- was ist denn seine Bedeutung?
Für Maximum, Minimum und Sattelpunkt mit x als X-Koordinate gilt das gleiche notwendige Kriterium: f'(x) = 0
Oder möchtest du auf einen anderen Zusammenhang hinaus?
Die erste Ableitung (f‘) gibt die Steigung einer bestimmten Stelle an.
y achse? haha