Hilfe bei schwieriger Matheaufgabe (Variabeln?)?
Ich habe eine Matheaufgabe, die ich einfach nicht schaffe zu lösen. Meine Eltern haben leider auch keine Ahnung davon. Kann mir da jemand helfen?
Gesucht sind sechs paarweise verschiedene natürliche Zahlen, die größer als 0 und kleiner als 50 sind. Für diese Zahlen a, b, c, d, e, f gelten folgende Bedingungen:
1. a < b < c < d < e < f
2. a + b + c + d + e + f = 161
3. a * b * c * d * e * f = 138607200
Ich danke euch für eure Hilfe.
Ist es sicher dass die Summe 161 ist, nicht vielleicht 167?
Ja, sicher 161
3 Antworten
138607200 = 2^5 * 3^5 * 5² * 23 * 31
Die 31 ist also schon einmal Teil der Lösung (mit einem weiteren Primfaktor multipliziert käme man über 50).
Aus den anderen 4 Faktoren müssen nun 5 gemacht werden, die addiert 130 ergeben....
Ab hier sehe ich gerade nur "durch probieren":
3^5 ist zu groß, d. h. man muss das schon einmal in 3² * 3³ umformen und hätte so 5 Faktoren: 2^5 * 3² * 3³ * 5² * 23... Die Zahl 1 kommt als Faktor nicht in Frage, da man hier keine dieser Faktoren so auf die anderen "verteilen" kann, ohne dass diese größer als 50 werden.
Also nun einzelne Faktoren der Potenzen auf andere Faktoren verteilen und so "irgendwie" auf die Summe 130 kommen...
HI,
JAA!
Endlich habe ich eine Lösung gefunden!
Die Zerlegung in Primfaktoren wie auch Rhenane bereits gesagt hat, sind dann so zu kombinieren daß die Summe stimmt.
Das schwere daran war dass ich es nicht mit nur positiven Zahlen hingekriegt habe.
2 der Zahlen sind negativ in meiner Lösung dadurch ist auch das Produkt wieder positiv und die Summe stimmt.
-18, -2, 31, 46, 50, 54
Ich will nicht ausschließen dass es keine andere Lösung gibt (also mit nur positiven Zahlen), aber es ist ja in der Vorgaben nicht ausgeschlossen dass es auch negative sein dürfen.
LG,
Heni
"Gesucht sind sechs paarweise verschiedene natürliche Zahlen, die größer als 0 und kleiner als 50 sind"
Damit sind doch negative Zahlen ausgeschlossen, sowie über 50.
Aber ich danke dir für den Versuch :)
Zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich diese Zeile überlesen habe: natürliche Zahlen und <50.
Ich habe natürlich auch so wie Du, die Zerlegung in Primfaktoren gemacht und in Excel versucht die Summen so hinzukriegen dass sie 161 ist. 167, 163,, 157, 159 habe ich erhalten aber keine 161.
WAs ich nun nicht eindeutig versteh, was es denn heißt paarweise natürliche Zahlen <50? Damit kann ich nichts anfangen. Hört sich fast so an wie symmetrisch zueinader gegenüber einer und derselben Zahl!?
Aber im Moment komme ich damit auch nicht weiter.
wusste schon nicht mehr, dass die Zahlen auch noch alle natürlich sein müssen...
"paarweise verschieden" ist wohl die "mathematisch korrekte Beschreibung" für "alle Zahlen müssen unterschiedlich sein" (warum einfach wenns auch kompliziert geht): man nimmt quasi in allen Varianten 2 Werte aus der Lösungsmenge (daher paarweise) und diese Werte müssen dann jeweils verschieden sein, damit die Bedingung "paarweise verschieden" erfüllt ist.
(eigentlich ist das ja auch schon durch a<b<...<e<f ausgesagt...)
Ich ignoriere mal die Sortierung und setze f=31 (siehe Rhenanes Antwort).
Weiter gilt 1) e=23 oder 2) e=46, und
a) d=25 oder b) d=50 oder c) c,d=anderes Vielfaches von 5.
Bei 1a) sieht man schnell, dass es keine Lösung gibt.
Bei 1b) kommt man auf a+b+c=57 und a*b*c=2^4*3^5. Entweder ist nur ein Summand durch 3 teilbar, oder alle. a=3^5 ist zu groß, also hat jeder Summand einen Faktor 3. Das führt zu a'+b'+c'=19 und a*b*c=2^4*3^2. 8+2+9 passt, dann ist a=24, b=6, c=27. 3+4+12 passt auch; weitere Lösungen sehe ich nicht.
Zusammen: { 6, 23, 24, 27, 31, 50 } oder { 9, 12, 23, 31, 36, 50 } .
Ob es für 1c) oder 2a-c) weitere Lösungen gibt, habe ich nicht untersucht.
Mist, ich habe ≤50 gelesen. Jetzt muss halt doch jemand die übrigen Fälle untersuchen…
Hab' mal eben 5 Zeilen Python geschrieben:
{ 6, 20, 23, 31, 36, 45 } ist die einzige Lösung. Kannst Du das verifizieren?
SUPER! Ich dachte mir, oder habe auch heimlich gehofft, dass es nur eine Lösung gibt, aber ich habe es noch nicht bewiesen.
Bin mir aber zu 99% sicher dass es so ist. GRATULIERE DIR!
Wenn man die Grenzen lockert, gibt es mehrere Lösungen. Bis 130 finde ich:
- (6, 20, 23, 31, 36, 45)
- (6, 23, 24, 27, 31, 50)
- (8, 15, 23, 30, 31, 54)
- (9, 12, 23, 31, 36, 50)
- (9, 18, 20, 23, 31, 60)
- (9, 18, 23, 24, 25, 62)
- (10, 15, 23, 24, 27, 62)
Über 130 wird vermutlich nichts mehr gehen. Offenbar wurden die Grenzen gerade so gewählt, dass nur eine dieser Lösungen gültig ist.
6,20,23,31,36,45 scheint richtig zu sein. Vielen lieben Dank für deine bzw eure Hilfe :)
Huch, Du bist ja auch noch da :)
Die Lösung darfst Du behalten. Mir selbst gefällt die Brute-Force-Methode sowieso nicht. Ich hätte lieber einen eleganten Weg mit Bleistift und Papier. Meine beiden Lösungen mit 50 drin waren ja in zehn Minuten gefunden. Nach dem Einwand von HeiniH habe ich noch etwas weiter gemacht und dabei den Fall { 23, 31, 45 } abgehakt. Bei den vielen Fallunterscheidungen ist mir da offenbar ein Fehler unterlaufen.
Also nach einer Hausaufgabe sieht das jedenfalls nicht aus (außer in Informatik). Wie kamst Du zu dieser Aufgabe?
Respekt! An negative Zahlen habe ich gar nicht gedacht; allerdings ist nun die Bedingung <50 leider nicht mehr erfüllt...
Ich habe zugegebenermaßen nach einigem "rumprobieren" (recht unsystematisch hier im Texteditor mit "mal hier mal da" zusammenfassen) aufgegeben; aber nachdem Du Dich da so reingehängt hast, scheint es mit den Vorgaben, also ohne "Kompromisse", wohl keine Lösung zu geben!