Hilfe bei dieser Matheaufgabe?

Bestimmen Sie a>0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegebenen Inhalt A hat.

Answer 1

[mihisu]

Zunächst die Schnittstellen bestimmen...

$\begin{array}{rclcrcl} f(x) & = & g(x) & \quad\Leftrightarrow\quad & -x^2+2a^2 & = & x^2 \\ & & & \quad\Leftrightarrow\quad & 2a^2& = & 2x^2 \\ & & & \quad\Leftrightarrow\quad & a^2& = & x^2 \\ & & & \quad\Leftrightarrow\quad & x^2& = & a^2 \\ & & & \quad\Leftrightarrow\quad & x& = & \pm a \end{array}$

Des Weiteren verläuft der Graph von f im entsprechenden Bereich zwischen -a und +a oberhalb des Graphen von g, wie man beispielsweise daran erkennen kann, dass f(0) = 2a² größer als g(0) = 0 ist.

Der entsprechende Flächeninhalt A ist also (in Abhängigkeit von a) gegeben durch...

$\begin{array}{rcl} A & = & \int\limits_{-a}^{a} \left(f(x)-g(x)\right)\,\text{d}x \\ & = & \int\limits_{-a}^{a} \left(-x^2+2a^2-x^2\right)\,\text{d}x \\ & = & \int\limits_{-a}^{a} \left(-2x^2+2a^2\right)\,\text{d}x \\ & = & \left[-\frac{2}{3}x^3+2 a^2 x\right]_{-a}^{a} \\ & = & \left(-\frac{2}{3}a^3+2 a^2\cdot a\right)-\left(-\frac{2}{3}\cdot\left(-a\right)^3+2 \cdot\left(-a\right)^2 \cdot \left(-a\right)\right) \\ & = & \left(-\frac{2}{3}a^3+2 a^3\right)-\left(\frac{2}{3} a^3-2 a^3\right) \\ & = & \left(-\frac{2}{3}a^3+\frac{6}{3} a^3\right)-\left(\frac{2}{3} a^3-\frac{6}{3} a^3\right) \\ & = & \left(\frac{4}{3} a^3\right)-\left(-\frac{4}{3}a^3\right) \\ & = & \frac{4}{3} a^3+\frac{4}{3}a^3 \\ & = & \frac{8}{3}a^3 \end{array}$

Nun soll A = 72 sein, also...

$\begin{array}{rclcrcl} A & = & 72 & \quad\Leftrightarrow\quad & \frac{8}{3}a^3 & = & 72 \\ & & & \quad\Leftrightarrow\quad & a^3& = & 27 \\ & & & \quad\Leftrightarrow\quad & a& = & 3\end{array}$

Ergebnis: a = 3

Comments

[luismenge]

Danke🙏

Answer 2

[Rhenane]

Zuerst berechnest Du die Schnittstellen der beiden Graphen, indem Du f(x)=g(x) nach x auflöst, und integrierst dann die Differenzfunktion (g-h) in den Grenzen der beiden Schnittstellen, und setzt die so entstehende Funktion gleich dem Flächeninhalt A und löst nach a auf.

Da in diesem Fall beide Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse sind, ist auch die Fläche zwischen den beiden Funktionen achsensymmetrisch, d. h. Du kannst alternativ auch von 0 bis zur rechten Grenze integrieren und das dann gleich 36 (=72/2) setzen.

Comments

[GreenxPiece]

Differenzfunktion (g-h)

Meinst du f-g?

[evtldocha]

@GreenxPiece

Wer grundsätzlich Flächen als Beträge von Integralen berechnet, hat das Problem nicht.

[GreenxPiece]

@evtldocha

Das ist klar ich war wegen dem h verwirrt.

[evtldocha]

@GreenxPiece

Achso - Sorry dann, habe ich falsch verstanden.

[Rhenane]

@GreenxPiece

Ups, natürlich f-g - keine Ahnung was ich da wieder im Kopf hatte...
Und ich hab's ohne Betragsstriche notiert, weil hier "recht offensichtlich" f (nach unten offene Parabel) über g (nach oben offene Parabel) verläuft.

Answer 3

[gauss58]

1) Bestimme die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Das sind die Schranken für das Integral.

2) Bilde die Differenzfunktion.

3) Bestimme das Integral in den Grenzen der Schnittpunkte und setze das gleich 72.

4) Forme nach a um. (zum Vergleich: a = 3)

Answer 4

[GreenxPiece]

Da beide Funktionen symmetrisch zur y-Achse sind, kann man als untere Grenze für das integral x=0 nehmen und als obere Grenze den Schnittpunkt von g und f in Abhängigkeit von a. Dafür setzen wir die Funktionen gleich und lösen nach x auf:

-x^2+2a^2=x^2

x= a

Hier interessiert nur die positive Lösung

Dann rechnet man das bestimmte integral von f(x) - g(x) im intervall von 0 bis a in Abhängigkeit von a aus und setzt das =36 (die Hälfte von A wegen Symmetrie) dann kann man a ausrechnen.