Hi, kann mir jemand bitte helfen, eher die Lösung sagen?
3 Antworten
Die Variable, von der alles abhängt, ist die Zeit t (in Stunden)
die Funktionen f(x) und g(x) sind das Ergebnis der abgelaufenen Zeit, nämlich die gelaufene Strecke im km.
Als erstes marschiert Ina los. Diesen Zeitpunkt nennen wir t = 0
Dann kommt sie voran:
f(x) = v * t
mit v = 4 km/h
also
f(x) = 4t
Jakob läuft 0,5 h später los. Also hängt er immer eine halbe Stunde hinter Inas Zeit t her. Wir müssen als von Inas Zeit t immer 0,5h abziehen:
g(x) = v * (t - 0,5h)
mit v = 6 km/h
damit lautet die Funktion:
g(x) = 6(t - 0,5)
b)
t = 1 bedeutet, Ina ist 1 h unterwegs. Damit ist Jakob aber erst 1/2 h gelaufen (t - 0,5) und er hat damit 3 km zurückgelegt.
c)
bei t = 1,5 h treffen sich die beiden. Jakob war dann 1 h unterwegs. Der Treffpunkt liegt bei km 6. Das klingt auch logisch, denn nach 1,5h mit 4 km/h hat sie 6 km zurückgelegt und Jakob hat in 1 h ebenfalls 6 km zurückgelegt.
Rechnerische Lösung:
Bei Treffpunkt sind beide gleichweit vom Start entfernt. Dann muss gelten:
f(x) = g(x)
Das setzen wir ein:
4t = 6(t - 0,5)
und lösen nach t auf:
4t = 6t - 3
6t - 4t = 3
2t = 3
t = 1,5
Und oh wunder, rechnerisch kommt dasselbe raus wie zeichnerisch
Bei der allgemeinen Formulierung für eine Funktion
f(x) = mx + b
wird x durch t ersetzt, weil das für eine Zeit so üblich ist.
m wäre die Steigung der Geraden in y/x (siehe Steigungsdreieck). Hier ist die Einheit von y/x = km/h, also die Geschwindigkeit.
b wäre eine Verschiebung in y-Richtung. Die kommt nicht vor. Deshalb ist b = 0. Ein b hätten wir, wenn Jakob nicht nach der Zeit später losgelaufen wäre (das ist eine Verschiebung in x-Richtung), sondern wenn er an einem weiter entfernten Ort losgelaufen wäre, denn y = f(x) gibt ja die Kilometer an.
Für Verschiebungen in x-Richtung müssen wir obige allgemeine Fo9rmulierung von f(x) = mx + b auf f(x) = m(x - a) + b erweitern.
a wäre die Verschiebung in x-Richtung. Hier lauert übrigens ein Fettnäpfchen. Verschiebungen in y-Richtung sind immer plus, in x-Richtung aber minus
Wenn du bei a) nicht durch "draufsehen" drauf kommst, kannst du die Funktionen auch durch je zwei Punkte herleiten.
Ina hat nach 0 Minuten logischerweise 0km zurückgelegt, also liegt der Punkt P(0|0) auf Inas Funktion. Nach einer Stunde hat sie dann 4km geschafft, deswegen liegt der Punkt Q(1|4) auf ihrer Funktion.
Jakob läuft nach 0,5 Stunden los, hat dort also 0km zurückgelegt. Der Punkt R(0,5|0) liegt auf seiner Funktion.
Nach einer Stunde (dann sind insgesamt 1,5 Stunden vergangen) hat er 6km, also liegt der Punkt S(1,5|6) auf seiner Funktion.
_____
Der Ansatz für eine lineare Funktion ist ja y=m*x+b oder welche Buchstaben ihr eben benutzt. Es kann auch mit f(x)= oder g(x)= anfangen, aber ich nehme lieber y, weil der letzte Schritt dann etwas einfacher vorzustellen ist.
m kann man mit der Steigungsformel ausrechnen. Auf b kommt man dann, indem man die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf der Geraden in die Funktion einsetzt und nach b auflöst.
Ich mache es dir mal für Ina vor:
Der Ansatz ist y=mx+b. Nun gilt nach der Steigungsformel:
_____
Daraus folgt erst mal y=4x+b. Nun setze ich den Punkt Q ein. Hier habe ich also y durch 4 und x durch 1 ersetzt (das sind die fett markierten Zahlen), gemäß den Koordinaten von Q:
4 = 4*1 + b
Nun löse ich nach b auf, indem ich 4*1 auf beiden Seiten abziehe:
4-4*1=b, also 0=b.
Daraus folgt y=4x+0, oder aber y=4x bzw. f(x)=4x
_____
Versuche es nun mal selber für Jakob. Hier musst du am Ende einen der Punkte R oder S benutzen, weil die ja zu Jakobs Funktion gehören.
ich verstehe nicht wie du auf (1/0) kamst und muss ich für beide die Funktionsgleichung aufstellen?
Das ist doch die Aufgabe, also ja.
(1|0) hab ich nirgends. Der senkrechte Strich ist übrigens ein Trennstrich, kein Bruchstrich. Das sind alles Punkte, die ich angegeben habe, falls es da vielleicht Unklarheiten gibt.
Auf die Punkte an sich bin ich gekommen, indem ich ausgerechnet habe, nach wie viel Zeit in Stunden (x-Koordinate) wie viel Weg (y-Koordinate) zurückgelegt wurde. Das entnehme ich der Geschwindigkeit in km/h!
Zum Beispiel weiß ich, dass zu Beginn der Messung (x=0 Stunden, also fängt der Punkt mit 1 an) auch 0km (also endet der Punkt mit 0) von Ina geschafft sind. Das ist ja logisch.
Nach einer Stunde (das gibt ja gerade das km/h an!) sind dann 4 km geschafft. Also x=1 Stunde und y=4km. Als Punkt verpackt ist das dann (1/4).
______
Für Jakob geht es dann bei x=0,5 (um halbe Stunde verzögerter Start) mit einer Distanz von 0km los, denn dann läuft er los. Also ist ein Punkt bei (0,5 | 0). Und nach einer Stunde Laufzeit, also x=1,5 Stunden Gesamtzeit, hat er 6km geschafft, ein weiterer Punkt ist also bei (1,5 | 6)
Die Zeitmessung bezieht sich immer auf Ina. Sobald sie los geht, tickt die Uhr, das steht ja in der Aufgabe.
Wenn Jakob also erst 'ne halbe Stunde nach Beginn der Zeitmessung losläuft und dann 'ne Stunde läuft, sind insgesamt 1,5 Stunden vergangen.
Für Jakob war es zwar nur eine Stunde, für Ina aber (auf die sich die Zeitmessung ja bezieht) waren es 1,5 Stunden, deshalb muss es (1,5 | 6) sein
Guck dir bitte den blau hinterlegten Link in der Antwort an (https://www.mathebibel.de/steigungsformel), da steht, wie man das macht und woher ich die Zahlen hab. Ich mag jetzt nicht jeden Schritt nochmal einzeln erklären.
Google im Zweifel einfach mal nach "Funktion aus 2 Punkten bilden" und orientier dich an den zahlreichen Anleitungen. Eine davon sagt dir bestimmt zu.
Man berechnet die Differenz (den Unterschied) der y-Koordinaten und teilt das durch die Differenz der x-Koordinaten.
Die y-Koordinaten sind 4 und 0, ihre Differenz ist 4-0. Die x-Koordinaten sind 1 und 0, ihre Differenz ist 1-0.
Diese Zahlen habe ich aus den ersten beiden Punkten abgelesen. Die erste Zahl im Punkt nennt man x-Koordinate, die zweite nennt man y-Koordinate.
a) b) die von jakob zurück gelegte entfernung nach einer stunde
bedeutet v = ,,m''+ t ,,b''?