Hesse-Matrix von Funktion bestimmen?

Kann mir hier bitte jemand helfen? Das wäre echt nett!☺

Answer 1

[mihisu]

Genau genommen existiert die Hesse-Matrix an der angegebenen Stelle gar nicht. Denn die Funktion f ist an der Stelle (x₁, x₂) = (2, -2) nicht definiert und daher dort auch nicht differenzierbar.

Das übersieht man jedoch recht leicht. Denn wenn man stur nach Rechenregel ln(x) bzgl. x ableitet erhält man 1/x. Bei 1/x kann man, im Gegensatz zu ln(x), problemlos negative Zahlen für x einsetzen. Jedoch entspricht 1/x nur für positive x der Ableitung von ln(x) nach x, denn für negative x ist ln(x) gar nicht definiert, und damit auch eine Ableitung von ln(x) für negative x undefiniert. [Anders würde das aussehen, wenn man ln(|x|) betrachten würde, also im vorliegenden Fall f(x₁, x₂) = -40 ⋅ ln(|x₁|) - 70 ⋅ ln(|x₂|).]

Comments

[liesaa]

@mihisu vielen vielen dank! das ergebnis war richtig, aber auch der ausführliche rechenweg war mir eine große hilfe zum verständnis. echt nett von dir!

[liesaa]

10?

[mihisu]

@liesaa

Ja, 10. Das ist ja dann der Wert, der links oben in der Matrix steht.

[liesaa]

@mihisu wow, vielen dank! welchen wert sollte ich dann einsetzen? (für "links oben")

[liesaa]

kannst du es bitte für mich ausrechnen unter der annahme die funktion wäre an dieser stelle differenzierbar? das wäre mega nett!

[mihisu]

@liesaa

Ja, schau mal hier: https://www.dropbox.com/s/rmsyj6qpbjtu79v/Hesse.pdf?dl=0

[DerRoll]

Ouch!

Answer 2

[gauss58]

Die Hesse-Matrix besteht aus den zweiten partiellen Ableitungen der Funktion. Links oben steht die zweite partielle Ableitung nach x1.

Comments

[liesaa]

was kommt denn bei dir als endergebnis raus?

[gauss58]

@liesaa

fx1(x1,x2) = -40/x1

fx1x1(x1,x2) = 40/x1²

fx1x1(2;-2) = 40/2² = 10

[liesaa]

@gauss58

danke!😊

Answer 3

[DerRoll]

Weißt du denn was eine Hesse Matrix ist? Du mußt doch nur insg. vier Mal zweifach partiell ableiten. Da das nun schon ziemlich fortgeschrittener Stoff ist solltest du doch diese "einfachen" Dinge hinbekommen, insbesondere wo die gemischten partiellen Ableitungen ja 0 werden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[liesaa]

kannst du mir vielleicht sagen, was rauskommt, wenn du es ausrechnest? das wäre nett, ich habe nämlich nur einen versuch und würde gerne etwas mit meinem ergebnis vergleichen

[DerRoll]

@liesaa

Schau dir den Kommentar von @mihisu mal an.

[liesaa]

@DerRoll

ehrlich gesagt verwirrt mich dieser kommentar ziemlich. wir haben gleichungen dieser art, also hesse, noch nie mit ln(x) bzw ln (|x|) berechnet. mit der lösung wäre mir sehr geholfen!

[DerRoll]

@liesaa

Was ist denn die Ableitung vom Logarithmus? Die erste partielle Ableitung nach x_1 ist doch -40/x_1, und die zweite? Die bekommst du doch bestimmt selbst hin, zur Not mit Formelsammlung. Und dann einfach 2 einsetzen, da der Term mit x_2 eh weggefallen ist.