Wie kann man die Halbwertszeit berechnen, wenn nur ein Wert gegeben ist?
Guten Morgen,
ich sitze gerade an einem Mathematik Beispiel zur Halbwertszeit herum. Eigentlich ziemlich einfach, aber ich komme nicht weiter.
Pro Stunde zerfallen 8 Prozent eines Isotops. Ermittle die Halbwertszeit.
Kann mir bitte jemand helfen?
Danke im Vorraus!
Wenn ich log1-0.08(0.5) nehme bekomme ich das richtige heraus. Weiß nur nicht wie ich das anschreiben soll.
5 Antworten
N(t) = N(0) * (1 - p / 100) ^ t
Halbwertszeit bedeutet --> N(t) = N(0) / 2
mit p = 8 also :
N(0) / 2 = N(0) * (1 - 8 / 100) ^ t | : N(0)
1 / 2 = 0.92 ^ t
Nach t auflösen :
t = ln(0.5) / ln(0.92) = 8,313 Stunden (gerundet)
Die Funktion f(t)=1 * 0,92^t gibt Dir den Rest des Isotops in % an. Jetzt setzt Du f(t)=0,5 (=50%) und rechnest t aus, ergibt 0,92^t=0,5 <=> t=ln(0,5)/ln(0,92)=8,31 Stunden
Das Zerfallsgesetz lautet:
N(t) = N_0 * exp(-λt),
wobei N_0 die Anzahl der am Anfang (t=0) vorhandenen Atomkerne und die Zerfallskonstante des betreffenden Nuklids ist.
Nun zu deiner Aufgabe:
Nach einer Stunde, also t = 1h, zerfallen 8% des Isotops. Das heißt, dass nach einer Stunde nur noch 92% von N_0 bleiben. Es gilt also:
(1) 0,92 * N_0 = N_0 * exp(-λ*1h)
Für die Halbwertszeit T_h gilt:
(2) T_h = ln(2) / λ
Löst man nun die Gleichung (1) nach λ auf, erhält man:
λ = ln(1/0,92) / 1h = ln(1/0,92) / 3600s
Setzt man nun λ in (2) ein, erhält man:
T_h = ( ln(2) / ln(1/0,92) ) * 3600s =
= ( ln(2) / 0,08338 ) * 3600s = 8,3131* 3600s = 8,3131 h.
Wenn m die Anfangsmenge ist, dann ist nach einer Stunde noch m * (1-0,08) da.
Nach x Stunden ist noch m * (1 -0,08)^x da.
Du suchst den Zeitraum x, nach dem noch m * 0,5 da ist.
Gesucht ist also das x, für das gilt:
0,5 = (1-0,08)^x.
Darauf den Logarithmus:
log (0,5) = log ((1-0,08)^x)
Rechengesetze Logarithmus:
log (0,5) = x *log (1-0,08)
Macht:
x = log (0,5) / log (1-0,08)
8% in einer Stunde, dann 50% in welcher Zeit?
Ist dann eigentlich nur noch Dreisatz
Nein, Dreisatz ist bei linearen Zusammenhängen, nicht bei exponentiellen.