Grenzwert mit Wurzel?

Wie kann man diese Gleichung einfachen ?

Answer 1

[Quotenbanane]

Leider ist LaTex von gf.net wieder mal unmöglich, daher gibt's meine Korrektur per Bild...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Answer 2

[Quotenbanane]

Ich fange mal etwas anders an...

$\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\left(n+n\cdot\sqrt{n+1}+1\right)}{\sqrt{2n^3}+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\left(n+n\cdot\sqrt{n+1}+1\right)}{\sqrt{2}\cdot n\cdot\sqrt{n}+1}$

Hier habe ich den Nenner nur umgeformt. Es ist hoffentlich klar, wie man von sqrt(2n^3) auf sqrt(2)*n*sqrt(n) kommt.

Jetzt spaltest du den Bruch in einzelne Brüche auf.

$=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n}{\sqrt{2}\cdot n\cdot\sqrt{n}+1}+\frac{n\cdot\sqrt{n+1}}{\sqrt{2}\cdot n\cdot\sqrt{n}+1}+\ \frac{1}{\sqrt{2}\cdot n\cdot\sqrt{n}+1}$

Jetzt nur noch kürzen...

$=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{n}+1}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ \frac{1}{\sqrt{2}\cdot n\cdot\sqrt{n}+1}$

Und zu guter Letzt den Grenzwert ziehen.

$=\ 0+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ 0\ =\ \frac{1}{\sqrt{2}}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[gfntom]

Im zweiten Summanden kürzt du Wurzel(n+1) mit Wurzel(n) + 1. Das ist nicht das Gleiche.

[Willy1729]

@gfntom

Ist es zwar nicht, aber für n gegen unendlich ist es nahezu gleich.

1.000.000.000.001/1.000.000.000.000 ist sehr nah an der 1 und wird für n gegen unendlich sogar 1. In diesem Fall ist das Kürzen ok.

[Quotenbanane]

Ups, ich dachte, ich hätte im Nenner sqrt(n+1) geschrieben. Meine Rechnung ist falsch, ich versuche sie zu fixen.

[Willy1729]

@Quotenbanane

Wenn n gegen unendich geht, ist das Kürzen in Ordnung, weil der Bruch gegen 1 geht. Der Grenzwert stimmt auf jeden Fall.

Wenn Du n ausklammerst, wird aus der 1 im Nenner 1/n und dieser Bruch geht gegen Null.

[Quotenbanane]

@Willy1729

Ja, aber das muss ich auch logisch begründen. Ich hab' jetzt ein Update hinzugefügt, der den Weg über Sandwichsatz und lim sqrt(n+1)/sqrt(n) = 1 geht.

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

der Trick ist, daß Du im Nenner aus dem Ausdruck √(2n³) ein n² herausholst und diesen Term zu n*√(2n) und weiter zu n*√n*√2 umschreibst.

Du bekommst [n+n*√(n+1)+1]/[n*√n*√2+1]

Nun kannst Du in Zähler und Nenner n ausklammern:

[n*(1+√(n+1)+1/n]/[n*(√n*√2+1/n] und kannst n kürzen:

[1+√(n+1)+1/n]/[√n*√2+1/n]

Nun teile den Bruch in drei Brüche auf:

1/[√n*√2+1/n]+√(n+1)/[√n*√2+1/n]+(1/n)/[√n*√2+1/n]

Der erste Bruch geht für n gegen unendlich gegen Null, weil der Nenner gegen unendlich strebt und der Zähler 1 ist.

Auch der dritte Bruch geht gegen Null, denn der Zähler geht gegen Null und der Nenner gegen unendlich.

Diese beiden Brüche spielen also keine Rolle mehr.

Interessant ist der mittlere Bruch:

√(n+1)/[√n*√2+1/n]

1/n im Nenner geht gegen Null für n gegen unendlich.

Du kannst diesen Term für sehr hohe n vernachlässigen.

Was bleibt, ist √(n+1)/[√n*√2)=[√(n+1)/√n]*1/√2.

Für n gegen unendlich geht der Bruch √(n+1)/√n gegen 1.

Du bekommst also Grenzwert daher 0+1*1/√2+0=1/√2=√2/2.

Gib den ursprünglichen Term mal mit einer sehr hohen Zahl für n (1 Trillion. oder 10 Trillionen) ein, dann siehst Du, daß das Ergebnis tatsächlich diesem Grenzwert nahekommt.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 4

[gfntom]

Zunächst: wäre schön, wenn du die Wurzelzeichen so machst, dass man eindeutig sieht, bis wohin sie gehen.

Dann: die 3. binomische Formel lautet (a+b)*(a-b) = a² - b² (man beachte das Minus auf der rechten Seite...)

Dann: das "lim..." gehört nach jedem Gleichzeichen wiederholt, solange der Grenzübergang nicht vollzogen wurde

Und: was willst du? Den Term vereinfachen (Gleichung hast du keine)? Oder den Grenzwert bestimmen?