Grenzwert der Reihe 1/(2k-1)^4?
Hat jemand einen Ansatz, wie ich die Reihe von 1/(2k-1)^4 von 1 bis unendlich berechnen kann? Anders ausgedrückt, ist es ja die Reihe von 1/k^4 für alle ungeraden k
3 Antworten
Die Reihe konvergiert gegen π^4/96
Wie schon gesagt kann man das sehr einfach anhand der Fouriertransformation der Dreiecksfunktion mit Periode 2 zeigen:
f(x) = x-1/2 für 0...1, -1/2-x für -1 ... 0
Die Koeffizienten a(n) der Fourierreihe sind
a(n) = -(4/π²) * 1/(2k-1)²
f(x) = 1/2 - sum_k (4/π²) * 1/(2k-1)² * cos (2k-1)π x
Das ist aber energetisch gesehen genau deine Reihe
r = sum_k 1/(2k-1)^4
Zitat von dir -->für alle ungeraden k
Deshalb schreibt sich das jetzt um -->
Summe von 1 / ( 2 * (2 * k - 1) - 1) ^ 4 mit k von 1 bis unendlich (k wird immer um 1 erhöht)
Der Term (2 * k - 1) stellt sicher, dass das immer eine ungerade Zahl ist.
Ausrechnen kannst du das jetzt mit dem Taschenrechner, einem selbstgeschriebenen Computerprogramm oder Wolfram Alpha im Internet.
Ach so, das ist aus deiner Frage nicht so richtig klar geworden.
Weil du geschrieben hast für alle ungeraden k, aber das läuft über alle k
2 * k - 1 sorgt nur dafür, dass es ungerade wird.
Hast du schon versucht eine Forierreihe zu verwenden?
Ich habs jetzt mir jetzt nicht näher angesehen, aber die Forier Reihe deiner symmetrische Dreiecksfunktion liegt sehr nahe an deiner Reihe dran.
Ich hatte den Term 2k-1 doch schon drinnen :D