Gradient von Ortsvektor berechnen?

Hallo, es geht um Aufgabe 1c:

In der Musterlösung ist folgendes angegeben:

Ich komme aber ums verrecken nicht drauf wie die da auf r^5 kommen. Wenn ich den Gradient jetzt beispielsweise für die X komponente berechne komme ich auf folgendes:

Sei x' der einheitsvektor:

(d/dx)(1/x³)x'=-3/(x^4)x'

parallel das ganze ja dann für y und z. Aber wie kommen die von da aus jetzt auf das r^5 oder rechne ich ganz falsch. Wäre um jede Hilfe dankbar.

Gruß

Answer 1

[PhotonX]

Nehmen wir uns die x-Komponente des Gradients raus. Die ist ja gerade die partielle Ableitung nach x:

d(1/r³)/dx =(Kettenregel)=

d(1/r³)/dr * dr/dx =(Ableitung im ersten Faktor ausführen)=

-3/r^4 * dr/dx

Nun brauchen wir dr/dx. Aber r=sqrt(x²+y²+z²). Also:

dr/dx = 1/[2*sqrt(x²+y²+z²)] * d(x²+y²+z²)/dx = 1/[2*sqrt(x²+y²+z²)] * 2x = x/sqrt(x²+y²+z²) = x/r

Insgesamt also:

d(1/r³)/dx = -3/r^4 * x/r = -3x/r^5

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Comments

[thepxl]

Gut zu wissen, dass die vom Betrag r gesprochen haben. Dann macht das alles natürlich auch mehr Sinn. Danke

Eine Frage hätte ich aber noch. Warum leitest du denn einmal den Ausdruck 1/r^3 nach x ab, wenn im Ausdruck gar kein X vorkommt und dann kommt auf einmal das d/dr aus dem nichts. Das verstehe ich nicht so recht.

[PhotonX]

@thepxl

Das ist die Kettenregel, wobei die innere Funktion r(x,y,z)=sqrt(x²+y²+z²) ist.

[thepxl]

@PhotonX

Wenn r(x,y,z)=sqrt(x²+y²+z²), kann ich dann nicht gleich 1/(sqrt(x²+y²+z²))^3 nach x ableiten? Ich kenne die Kettenregel aber so eine Applikation der Regel ist mir noch nie untergekommen. Gott Ich verfluche Elektrodynamik.

[PhotonX]

@thepxl

Was heißt denn "gleich"? ;) Das ist ja genau das, was hier passiert, nur dass man nicht immer sqrt(x²+y²+z²) ausschreibt, sondern wo möglich mit r abkürzt.

[thepxl]

@PhotonX

aber wenn ich 1/sqrt(x^2+y^2+z^2)^3 ableite kommt -3x/sqrt(x^2+y^2+z^2)^(5/2) raus. Also ein anderes Ergebnis oO

[PhotonX]

@thepxl

Ist doch genau dasselbe Ergebnis! Denn sqrt(x^2+y^2+z^2)^(5/2) = r^5.

[thepxl]

@PhotonX

Wieso ist das das selbe? Jetzt blick ich überhaupt nicht mehr durch: ((x^2+y^2+z^2)^(1/2))^(5/2)= (x^2+y^2+z^2)^(5/4).

[thepxl]

@thepxl

schon gut jetzt habe ichs. Viel zu viel verschachteltes denken für mich jetzt diesen Abend

[thepxl]

@PhotonX

halt nein habs immer noch nicht.

"aber wenn ich 1/sqrt(x^2+y^2+z^2)^3 ableite kommt -3x/sqrt(x^2+y^2+z^2)^(5/2) raus. Also ein anderes Ergebnis oO"

Ich meinte natürlich es kommt -3x/(x^2+y^2+z^2)^(5/2) keine Wurzel. Ich werde von Minute zu Minute verwirrter

[thepxl]

@thepxl

aber da kann man (x^2+y^2+z^2) durch r^2 ersetzen udn dann geht es auf. Was ne kack Aufgabe wenn ich das mal so sagen darf

[PhotonX]

@thepxl

Ja richtig, habe auch nicht genau hingeschaut. Die Wurzel steckt ja schon im Exponenten. Also:

sqrt(x²+y²+z²)^5 = (x²+y²+z²)^(5/2) = r^5.

Answer 2

[Halbrecht]

ohne das wirklich zu verstehen

im Nenner steht doch r^4 * r ( in strichen) was r^5 ergeben könnte ( frag mich eher , wo dieses r ( in strichen ) herkommt.

Comments

[thepxl]

Das in strichen ist der Betrag des Vektors bzw seine Länge vom Ursprung. Wo der herkommt weiß ich auch nicht. Die haben da eh eine sehr komplexe Schreibweise gewählt. Anstatt das alles in ne Summenformel zu schreiben habe ich halt die Komponenten einzelt versucht zu berechnen. Komme aber nicht drauf

Answer 3

[Saftsack19]

Ich steige da gerade nicht ganz durch, wovon willst du jetzt den Gradienten berechnen, doch hoffentlich nicht vom Ortsvektor?