Gr. Funktion 3. Grades anhand 4 Punkten berechnen?
Nun, ich habe den Punkte P(2/3) und die Nullstellen -1, 0 und 1. Ich soll daraus die Funktion bilden. Ist schon 2 Monate her dass wird das bearbeitet haben, musste mal googlen, hab aber auch nichts hilfreiches gefunden.
Ps: Das ist eine freiwillige Übungsaufgabe, keiner macht hier meine Hausaufgaben oder so. ^^
3 Antworten
Üblicherweise hat man ja nicht gerade die Nullstellen zur Verfügung. Da geht man denn den ausführlichen Weg:
eine Gleichung 3. Grades hat die Form ax³ + bx² + cx + d = y
Daraus folgen vier Gleichungen für deine 4 Punkte:
I x = 0 d = 0
II x = 1 a + b + c + d = 0
III x = -1 -a + b - c + d = 0
IV x = 2 8a +4b + 2c + d = 3
Mit Einsetz- und Additionsverfahren hat man auch ganz schnell heraus:
a = 1/2 b = 0 c = -1/2 d = 0
Noch Fragen?
Du hast drei Nullstellen gegeben, also kannst du die Nullstellenform aufstellen:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)
x₁, x₂ und x₃ hast du gegeben, also kannst du einsetzen:
f(x) = a(x - (-1))(x - 0)(x - 1)
= a(x + 1)(x - 0)(x - 1)
= a(x - 0)(x - 1)(x + 1)
= ax(x - 1)(x + 1)
Jetzt - um a zu berechnen - müssen wir noch den Punkt P(2 | 3) einsetzen:
3 = a⋅2(2 - 1)(2 + 1)
3 = 2a⋅1⋅3
3 = 2⋅1⋅3⋅a
3 = 6a
a = 3/6 = 0,5
Also lautet die Funktionsgleichung:
f(x) = 0,5x(x - 1)(x + 1)
Wenn du ausmultiplizierst, erhältst du:
f(x) = 0,5x³ - 0,5x
LG Willibergi
dank der gegebenen Nullstellen ist das easy: die Funktion lautet
f(x) = ax(x-1)(x+1).
Und die noch unbekannte Konstante " a " bekommt man durch Einsetzen des Punkts P(2/3).
also -6?