Gleichung Lösen Hilfe?
77=23+20*t*e^(-1/10*t)
54=20*t*e^(-1/10*t)
2,7=t*e^(-1/10*t)
Ich weiße nicht wie ich weitermache...
4 Antworten
Es gibt verschiedene Lösungswege...
Omegafunktion:
77 = 23 + 20 * t * e^(-(t) / (10)) | -(23)
54 = 20 * t * e^(-(t) / (10)) | :(-200)
-0,27 = -(t) / (10) * e^(-(1) / (10) * t) | W( )
W(-0,27) = -(t) / (10) | *(-10)
-10 * W(-0,27) = t
t_{1} ≈ 4,0468362160507186... and t_{2} ≈ 20,04954873512898582...
L = {4,0468362160507186...; 20,04954873512898582...}
Newton-Raphson-Verfahren:
77 = 23 + 20 * t * e^(-(t) / (10)) | -77
f(x) = 0 = 20 * t * e^(-(t) / (10)) - 54
f'(x) = -(2 * t - 20) * e^(-(t) / (10))
t_{n + 1} = t_{n} - (f(t_{n})) / (f'(t_{n})) | t_{1} := 4
t_{2} = 4 - (f(4)) / (f'(4)) = 4,0465444727190498
t_{3} = 4,046836204646890550542219923833393409100899758665530710166452043...
t_{4} = 4,0468362160507186362183489889462104817100043610540275397533279479...
t_{5} = 4,0468362160507186536432500564786658172491781718921655987890592615...
...
-> t_{1, inf} = 4,0468362160507186...
t_{n + 1} = t_{n} - (f(t_{n})) / (f'(t_{n})) | t_{1} := 20
t_{2} = 4 - (f(4)) / (f'(4)) = 20,0495485328872444
t_{3} = 20,0495487351289858107209093082130949711468017134299006158589398234...
t_{4} = 20,0495487351289858208040640557665304351317917669493136214108600185...
t_{5} = 20,0495487351289858208040640557665304351568556803255901003825557412...
...
-> t_{2, inf} = 20,0495487351289858208040640557665304351...
L = {4,0468362160507186...; 20,0495487351289858208040640557665304351...}
Ende
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
Vermutlich übersteigt Lambert eure Fähigkeiten .
Daher Lösung mit GTR graphisch oder normal .
Wenn du die Aufgabenstellung richtig in diese Glg umgesetzt hast !
.
Wie lautet die Frage denn wortwörtlich ?
Nehmen wir als Beispiel die erste Gleichung:
Auf beiden Seiten erstmal -23 um rechts zu vereinfachen.
Jetzt brauchst du etwas Extrawissen. Bei einer Gleichung, in der die Unbekannte in der Basis und im Exponenten steht, braucht man ganz oft den Produktlogarithmus. Ich habe dazu tatsächlich vor einiger Zeit ein eigenes YouTube-Video erstellt. Manchmal rede ich etwas schnell, ich hoffe, das stört nicht.
https://www.youtube.com/watch?v=K_6sAOOEwOk
Der Grundgedanke ist auf jeden Fall, eine neue Funktion W( ) einzuführen, die für
einfach x zurückgibt, also:
Dieses W( ) ist der Produktlogarithmus oder die Lambertsche W-Funktion und sie wird uns helfen, diese Gleichung zu lösen. Wir brauchen dafür eine Seite mit dem Term der Form
Was wir in der Beispielgleichung im Exponenten haben, ist -1/10*t. Das brauchen wir also auch in der Basis, wo wir bisher 20*t stehen haben. Wenn statt der 20 dort -1/10 stehen sollen, können wir einfach mit -200 auf beiden Seiten dividieren.
Wir können nun auf beiden Seiten den Produktlogarithmus nehmen:
Da ja W( ) beim Term irgendwas*e^irgendwas einfach wieder das irgendwas zurückgibt, kommt rechts einfach -1/10 t raus.
Jetzt nur noch auf beiden Seiten mit -10 multiplizieren und t ist
Die Rechnung rechts kann ein Rechner wie der Online-Rechner Wolfram-Alpha übernehmen. Heraus kommt:
Auf Wolfram-Alpha schreibst du die W-Funktion mit ProductLog(x). Wenn du vor den Funktionswert mit einem Komma abgetrennt 0 oder -1 schreibst, erhälst du zwei valide Lösungen. Bei ProductLog(0, ...) kommt der bereits genannte Wert heraus. Bei ProductLog(-1, ...) kommt der andere Wert
heraus.
Ich hoffe, du konntest folgen. Das ganze Thema um den Produktlogarithmus ist nicht ganz einfach. Schau dir gern meine beiden Videos dazu an oder schau im Internet nach, wenn du weitere Fragen hast.
Danke! Ja, das mit dem GTR könnte sein. Ich bin eher ein Freund der exakten Lösungen.
du bist echt in der 10ten Klasse ? kaum zu glauben oder sind deine Eltern im M-Geschäft ?
In der 9ten Klasse tatsächlich. Nein, meine Eltern haben wenig mit Mathematik zu tun. Ich interessiere mich einfach nur wirklich für die Mathematik.
na laut YT warst du am 28.10.2021 in der 9ten ...................ok , dann kommst du in die 10te (wenn schlechter Deutschunterricht das nicht verhindert :)) )
.
.
Gerade hier sparen die Lehrer reichlich an Erklärungen, was dann zur Folge hat, dass viele Schüler einfach nicht mehr durchblicken .......................ja , sie haben keine Zeit , liegt aber nicht an den Lehrkräften , sondern am Curriculum !
Ja, da hast du Recht. Das Curriculum spielt dabei natürlich eine wichtige Rolle. Das Video ist etwas emotional und nicht ganz so gut durchdacht, aber der Grundgedanke ist, finde ich, nicht verkehrt: Weniger Kästen abschreiben und mehr Regeln verstehen.
Aufgrund der reduzierten Form der Gleichungen
c = t * e(-1/10t)
lassen sich Geichungen nur mit der Lambertschen W-Funktion lösen. Ich vermute mal, dass die Aufgabe anders gemeint war.
schöne Antwort für jemanden der M nur als Hobby betreibt :))
.
Die Aufrüstung mit GTRs in den Schulen führt dazu ,dass für solche Glg die Nutzung des GTRs erlaubt ist .