Gleichung 2^(x-1)=(7^x)^2 lösen?

Hey kann mir jemand helfen die folgende Gleichung zu lösen?

Answer 1

[mihisu]

$2^{x-1}=\left(7^x\right)^2$

Zunächst einmal würde ich die rechte Seite mit entsprechender Rechenregel für Potenzen zu 7^(2x) vereinfachen.

$2^{x-1}=7^{x\cdot 2}$

$2^{x-1}=7^{2x}$

Dann würde ich beide Seiten logarithmieren. D.h. ich wende auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus ln an. (Alternativ könnte man aber auch einen beliebig anderen Logarithmus zu einer anderen Basis gleichermaßen auf beide Seiten der Gleichung anwenden.)

$\ln\left(2^{x-1}\right)=\ln\left(7^{2x}\right)$

Dann kann man entsprechend einer Rechenregel für Logarithmen den Exponenten multiplikativ vor den Logarithmus schreiben.

$\left(x-1\right)\cdot \ln\left(2\right)=2x\cdot \ln\left(7\right)$

Dann hat man im Grunde eine einfache lineare Gleichung übrig (auch wenn sie auf den ersten Blick vielleicht komplizierter erscheinen mag, als sie tatsächlich ist). Um diese zu lösen, würde ich die Klammer auf der linken Seite ausmultiplizieren. Und dann die Teilterme mit x auf die linke Seite sortieren, und die Teilterme ohne x auf die rechte Seite sortieren.

$x\cdot \ln\left(2\right)-1\cdot \ln\left(2\right)=2x\cdot \ln\left(7\right)$

$\ln\left(2\right)\cdot x-\ln\left(2\right)=2\cdot \ln\left(7\right)\cdot x$

$\ln\left(2\right)\cdot x-2\cdot \ln\left(7\right)\cdot x=\ln\left(2\right)$

$\left(\ln\left(2\right)-2\cdot \ln\left(7\right)\right)\cdot x=\ln\left(2\right)$

$x=\frac{\ln\left(2\right)}{\ln\left(2\right)-2\cdot \ln\left(7\right)}$

Damit ist man nun im Grunde fertig. Man kann das noch in einen Taschenrechner eingeben, um einen gerundeten Näherungswert zu erhalten.

$x\approx -0\text{,}22$

Answer 2

[Halbrecht]

(7^x)^2 = 7^(2x) = 49^x

.

nun den logarithmus wählen

.

(x-1) * log(2) = x * log(49)

x*log(2) - log(2) = x*log(49)

x*(log(2) - log(49)) = log(2)

.

nun noch teilen durch (log(2) - log(49))

Answer 3

[evtldocha]

Tipp:

$\left(7^x\right)^2=7^{2x}$ und damit

$2^{x-1}=7^{2x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ \ln$ $\left(x-1\right)\cdot\ln\left(2\right)=2x\cdot\ln\left(7\right)\ \ \ \ \ |\ \ :\ \ln\left(2\right)$ $x-1\ =2x\cdot\frac{\ln\left(7\right)}{\ln\left(2\right)}\ \ \ \ \ |:\ x$ $1-\frac{1}{x}=\frac{2\ln\left(7\right)}{\ln\left(2\right)}$

... ab hier sollte es alleine weitergehen können.