Gibt es zwischen 1 und 2 genauso viele Zahlen wie zwischen 1 und unendlich!?
Da es zwischen 1 und 2 unendlich viele Zahlen gibt (meine damit auch Kommmazahlen) müssten es doch genauso viele, nämlich unendlich viele sein, wie zwischen 1 und unendlich ? Allerdings sagt der gesunde Menschenverstand, dass das nicht sein kann, da bei dem Abstand von 1 zu unendlich auf die Zahlen von 1 bis 2 dazu gehören :S ist jedem meine Problematik klargeworden :S :S
8 Antworten
Tendenziell eher nicht, weil auch wenn beide zahlen unendlich sind, sind dann aber auch alle zahöen zwischen 1 und 2 element von der menge 1-oo
so gesehen stimmt das nicht da kommazahlen nur beim rechnen gibt. beim normalen zählen gibt es keine kommazahlen so stimmt das nicht ganz. aber wenn du es so siehst stimmt das wohl.
wieso gibt es dezimalzahlen nur beim rechnen?!
google mal "eulersche Zahl";)
Du musst unterscheiden, welche Zahlenbereiche du betrachtest. Wenn die Zahlen von 1 bis Unendlich nur ganzzahlig sein dürfen, dann sind das genauso viele wie zwischen 1 und 2. Sind sie rational, dann gibt es mehr von ihnen.
Nö - rationale Zahlen gibt es genau so viele wie ganzzahlige. Klingt komisch, ist aber so.
Wenn du die beiden offenen Intervalle (1,2) und (1,unendlich) betrachtest, kannst Du eine Abbildung angeben, die die beiden in dem Sinne genau aufeinander abbildest, dass jede Zahl aus (1,2) auf genau eine Zahl von (1,unendlich) abgebildet wird und (mit der Umkehrfunktion) jede Zahl von (1,unendlich) auf eine von (1,2) abgebildet wird. Das ist aber genau die mathematische Definition von "zwei Mengen haben die gleiche Anzahl Elemente" bzw. "es gibt gleich viele".
Auf die gleiche Weise kann man auch beweisen, dass es genauso viel natürliche Zahlen wie gerade natürliche Zahlen gibt. Anschaulich scheint das falsch zu sein. Das Problem ist dabei, dass unsere Anschauung versagt, wenn wir exakt beschreiben wollen, was gleich viel für unendliche Mengen überhaupt bedeutet. Hat man das endlich genau zu fassen bekommen, ergeben sich diese "Merkwürdigkeiten".
Zum Beispiel erfüllt f(x) = 1 + tan(pi/2 * (x-1)) die Bedingungen aus deinem Beispiel.
zwischen 1 und 2 sind streng genommen nicht undendlich viele Zahlen, da irgendwann die 2 erreicht wäre. Die schiere Anzahl an mögliche Zahlen ist für uns Menschen nur nicht fassbar warum wir dabei auch von "unendlich" sprechen.
1,1;1,2;1,3 usw bis 2. Anschließend kann man das Ganze wiederholen mit 1,01;1,02 ... . Man kann beliebig viele Nullen dranhängen. Es gibt somit auch unendlich viele Zwischenwerte.
> "zwischen 1 und 2 sind streng genommen nicht undendlich viele Zahlen, da irgendwann die 2 erreicht wäre"
0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; ....
Schon diese schlichte Zahlenfolge hat unendlich viele Glieder, alle liegen zwischen 1 und 2, und die 2 wird nie erreicht.
Deine Aussage ist also falsch.
> "Die schiere Anzahl an mögliche Zahlen ist für uns Menschen nur nicht fassbar warum wir dabei auch von "unendlich" sprechen."
Man redet in diesem Zusammenhang von "unendlich", weil es unendlich viele Zahlen sind.
es gibt streng genommen endlich unendlich viele Zahlen zwischen 1 und 2, da einerseits die Grenze bei 2 und 1 liegt, weshalb es eigendlich endlich viele Zahlen geben sollte, da ja Unendlichkeit für einen Raum oder eine Menge ohne Grenzen steht, andererseits jedoch existieren unendlich viele Dezimalzahlen zwischen 1 und 2, von daher ist die Menge endlich unendlich ;)
äh...nö...es gibt unendlich viele zwischen 1 und 2 ;)