Gibt es zwischen 0 und 1 eigentlich weniger Zahlen als zwischen 0 und 2?
Eigentlich gibt es ja zwischen beiden Zahlen unendlich Zahlen aber irgendwie gibt es zwischen 0 und 2 ja mehr Zahlen
18 Stimmen
11 Antworten
Bei unendlichen Mengen wird es schwer, so pauschal zu sagen "Eine Menge hat mehr Elemente als eine andere, weil in der ersten Menge noch zusätzliche Elemente enthalten sind". Google dazu mal nach Hilberts Hotel. Man kann unendlich große Mengen jedoch miteinander vergleichen, indem man versucht, jedem Element einer Menge A ein anderes Element der Menge B zuzuordnen, sodass man damit alle Elemente beider Mengen abdeckt. Gelingt das, so sagt man, dass beide Mengen gleichmächtig sind (also umgangssprachlich gleich viele Elemente haben. Das mathematische Stichwort dazu heißt bijektive Funktion). Mit dieser Definition wird dir schnell auffallen, dass die Mengen [0,1] (also alle Zahlen zwischen einschließlich 0 und 1) und [0,2] (alle Zahlen zwischen 0 und 2) gleichmächtig sind, denn mit der Funktion f(x) = 2x von [0,1] nach [0,2] deckst du sozusagen alle Zahlen zwischen 0 und 2 mit den Zahlen zwischen 0 und 1 ab. Man kann sogar zeigen, dass die Menge [0,1] zu allen anderen Intervallen und zu den reellen Zahlen selbst gleichmächtig ist.
Selbstverständlich gibt es weniger Zahlen, denn es gehört z.B. 1,5 nicht zu dem ersten Intervall.
Die "Mächtigkeit" der beiden Mengen ist jedoch gleich. Das Intervall der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ist sogar genauso mächtig, wie die reellen Zahlen insgesamt.
hallo,
die Unendlichkeit zwischen 0 ... 1 wird von der 1 begrenz. wenn du jetzt sagst von 0 ... 2 hast du quasi denn bereich um die Wertigkeit 1,0 erweitert. Somit sind theoretisch mehr unendlich viele zahlen möglich als bei 1 ... 2
jo klingt doch logisch wa?! :D
Gruß
Um die Anzahl der Elemente zweier Mengen sinnvoll zu vergleichen muss man die Mächtigkeit betrachten. Der Rest folgt aus der Antwort von mihisu.
Den Unterschied zwischen rationalen und Tellern Zahlen hat er nicht betont, deshalb kurz dazu:
Bei den rationalen Zahlen sind es jeweils abzählbar unendlich viele, bei den reellen überabzählbar unendlich viele.
Google einfach was die Begriffe bedeuten.
Wichtig ist nur: Unendlich ist steigerbar.
Des weiteren ist es fraglich über mathematische Sachverhalte abzustimmen. Fakten unterliegen nicht der Demokratie.
Unendlich ist nicht steigerbar. So einfach ist es.
Deiner Antwort stimme ich zu, aber deine Begründung ist mathematisch definitiv falsch. Google mal überablzählbar unendlich.