Gibt es unendlich viele Zahlen zwischen 2 und 2,1?
Gibt es unendlich viele Zahlen zwischen 2 und 2,1 die in den Bereich Q fallen? Und Erklärung bitte.
10 Antworten
Ja.
Erklärung: Cantors erstes Diagonalargument.
Oder mal einfach erklärt:
Man bildet eine Funktion
f(x) = 2 + 1/10^x
für x Element von N (natürliche Zahlen)
und berechnet die ersten Glieder dieser Funktionsreihe:
f(1) = 2 + 1/10^1 = 2 + 1/10 = 2,1
f(2) = 2 + 1/10^2 = 2 + 1/100 = 2,01
f(3) = 2 + 1/10^3 = 2 + 1/1000 = 2,001
dann sieht man, daß f(x) sich zwar beliebig an die Zahl 2 annähern kann, diesen Wert aber nie erreicht (das Ergebnis lautet immer 2,000...001)
Damit haben wir die Menge N (abzählbar unendlich) auf eine Reihe von Zahlen im Bereich [2; 2,1] abgebildet.
Oder anders gesagt: Wir haben bewiesen, daß in diesem Bereich unendlich viele Zahlen existieren.
Theoretisch ja, praktisch nein.
Denn das wäre ja sinnlos, aber das und der Rest ist selbsterklärend.
Guten Abend,
Nun gegenfrage.
Inwiefern wäre es denn Sinnvoll?
Unendlich Stellen für nichts und wieder nichts.
LG Dhalwim
In der Mathematik ist es selten von Vorteil, den Sinn in Frage zu stellen.
Es ist einfach eine Tatsache, dass unendlich viele Zahlen im Intervall ]2; 2,1[ existieren.
Dafür könnte man genauso den Sinn von Zahlen im Allgemeinen in Frage stellen.
LG Willibergi
Q meint "Rationale Zahlen".
"Ratio" steht dabei für Bruch oder Teil (wie bei "Ratenzahlung") aus ganzen Zahlen.
201/100 wäre ein möglicher Bruch, der in deinen Bereich fällt (2,01).
Oder anders geschrieben 2010/1000. Oder 20100/10000. Oder....
Das kannst du beliebig fortsetzen.
Wenn du dann mal bei zehn Stellen bist (2.010.000.000/1.000.000.000), kannst du mal versuchen, alle Brüche zu zählen, die in den Bereich passen.
Alle die größer als 2.010.000.000/1.000.000.000 und kleiner sind als 2.020.000.000/1.000.000.000.
Also z.B. 2.010.012.345/1.000.000.000. Und etliche Millionen andere.
Mit jeweils zwanzig Stellen im Zähler und Nenner bekommst du schon 10 Billionen mal so viele Lösungen wie beim letzten Versuch. (Ein Tipp: dein Leben wird nicht reichen, also lass deine Nachkommen arbeitsteilig weiterzählen).
Und mit hundert Stellen... oder mit tausend... oder mit zehntausend... und jo: Nach oben gibt es da keine Grenzen....
Viel Spaß beim Nachzählen.
Liebe Grüße,
Tanja
Q sind alle rationale Zahlen, also auch alle Brüche. Da es unendlich viele Brüche gibt, gibt es auch unendlich viele rationale Zahlen in diesem Bereich.
Ja, da es immer kleinere Kommazahlen gibt.
"Denn das wäre ja sinnlos"
Inwiefern sinnlos?
LG Willibergi