Gibt es eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch A (2/0) geht, in W (2/0) einen Wendepunkt hat und an der Stelle x = 3 ein Maximum besitzt?
Welche Bedingungen müssen aufgestellt werden?
6 Antworten
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Ganz sicher geht das und es gibt wahrscheinlich sogar mehrere Funktionen, da du noch offene Parameter hast.
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Sicher, dass du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast? A(2|0) ist überflüssig, da die Information in W(2|0) enthalten ist.
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Die Frage war allerdings nicht, welche Funktion
die Bedingungen erfüllt, sondern ob es eine
solche Funktion gibt und welche Bedingungen
"aufgestellt"(sic!) werden müssen. Vielleicht
ist nach der fehlenden Bedingung gefragt.
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Ich komme auf folgende Rechnung:
x = 3 → Maximum bedeutet, dass f'(3) = 0 ist. f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b f'(3) = 0 = 27a + 6b + 3 => 0 = 9a + 2b + 1 (I) W(2|0) bedeutet, dass f''(2) = 0 f''(2) = 0 = 12a + 2b (II)
II-I
0 = 3a -1 a = 1/3 b = -2
Das heißt, man kann c oder d beliebig wählen.
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Leider falsch, in Gleichung I muss es heißen +c/3 statt +1
Außerdem hast du die Bedingung f(2)=0 vergessen.
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Stimmt, ist falsch, aber weder +3 noch +c müsste richtig sein. Müsste es nicht + 3c heißen?
Das passiert, wenn man zu viele Dinge auf einmal macht. Hätte mich nur auf die Aufgabe konzentrieren sollen.
Die Bedingung f(2) = 0 habe ich weg gelassen, weil ich auf die Schnelle keinen Mehrwert gesehen habe. Mit meiner falschen Rechnung gedacht bringt mir f(2) = 0 nichts. Setze ich das in die Ursprungsfunktion ein, sind die Parameter c und d weiterhin offen.
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Also Gleichung I ist ja 0 = 9x² + 2b + 1 bei mir oben und es müsste dort eigentlich 0 = 9x² + 2b + c stehen.
Ich glaube, jetzt haben wir es. ^^
Der Fehler entstand aber schon eine Gleichung davor, bevor die Gleichung durch 3 geteilt wurde.
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Ich weiß zwar nicht wieso, aber Willy hat ohne Streckungsparameter auch für a = 1/3 und für b = -2 heraus. ^^' Ich hoffe mal, dass das kein Zufall ist.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Der Streckungsparameter ist hier -a. Ohne einen solchen sind die Extremstellen vertauscht. a>0
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ja das ist mein Problem. habe nicht genug bedingungen
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Hallo,
eine eindeutige Lösung gibt es zwar nicht, weil eine Bedingung fehlt; trotzdem findet man leicht alle Lösungen.
Eine Polynomfunktion dritten Grades ist immer punktsymmetrisch zum Wendepunkt, der hier gegeben ist.
Wenn also bei x=2+1 ein Maximum liegt, muß bei x=2-1 ein Minimum liegen.
Die Ableitung der gesuchten Funktion hat also die beiden Nullstellen x=1 und x=3.
Sie muß also f'(x)=(x-1)*(x-3) lauten.
Ausmultiplizieren ergibt f'(x)=x²-4x+3
f(x) muß eine Stammfunktion dazu sein, also:
f(x)=(1/3)x³-2x²+3x+C
Wir wissen von f(x), daß f(2)=0, also:
8/3-8+6+C=0
2/3+C=0
C=-2/3
So kommen wir zunächst auf f(x)=(1/3)x³-2x²+3x-2/3
Allerdings haben wir bei dieser Funktion das Maximum bei x=1 und das Minimum bei x=3.
Durch Umkehren aller Vorzeichen aber kommen wir auf das Gewünschte:
f(x)=-[(1/3)x³-2x²+3x-2/3]
Allgemein kannst Du hinter das Minuszeichen noch eine Zahl a>=0 setzen, um auf alle möglichen Funktionen mit den gewünschten Bedingungen (Kurvenschar) zu kommen:
fa(x)=-a*[(1/3)x³-2x²+3x-2/3]
Herzliche Grüße,
Willy
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
danke dir für deine ausführliche Antwort. jetzt habe ichs verstanden.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/4_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Also ich fasse mal die Infos in Mathesprache zusammen:
f(2)=0
f'(3)=0
f''(2)=0
Funktion: ax³+bx²+cx+d
Ableitung: 3ax²+2bx+c
2. Ableitung: 6ax+2b
Dann die drei Punkte einsetzten und schauen, ob das lineare Gleichungssystem eine oder mehrere Lösungen hat. Das geht z.B. mit einer Matrix.
1. Gleichung 8a+4b+2c+d=0
2. Gleichung 27a+6b+c=0
3. Gleichung 12a+2b=0
Das dann als Matrix in den rechner eingeben.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
Dann staunen, dass man mit drei Gleichungen
nicht vier Variable bestimmen kann.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Du musst das ganz anders angehen. Was euch Lehrer, Bücher und Internet systematisch verheimlichen.
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Diktat für Formelsammlung, Regelheft & Spickzettel ( FRS )
" alle kubischen Grafen verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP. "
Du kannst also eine Info ausschlachten, von der deine Lehrer gar nicht wollen, dass du sie siehst:
x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ( 1.1a )
f ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ( 1.1b )
Die Mittelwertbeziehung ( 1.1 ) ergibt sich direkt aus obiger Spiegelsymmetrie.
x ( w ) = 2 ; x ( max ) = 3 ===> x ( min ) = 1 ( 1.2 )
Damit kennen wir schon BEIDE Nullstellen der ersten Ableitung; ich schick erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
f ' ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 3 ) = ( 2.1a )
= k ( x ² - 4 x + 3 ) ( 2.1b )
Bisher haben wir nur eine Unbekannte, den ===> Leitkoeffizienten k. Was bleibt zu tun? " Aufleiten " , ===> Integral, ===> Stammfunktion
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - 2 x ² + 3 x ) + C ( 2.2 )
Dabei ist C die ===> Integrationskonstante; wenn du die Nullstelle bei x = 2 einsetzt, gibt das nur eine Bedingungsgleichung mit zwei Unbekannten.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die allgemeine Form lautet:
y=ax³+bx²+cx+d
Damit hast du vier Unbekannte, aber auch vier Angaben.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
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![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Nein du hast 4 Bedingungen, da es für einen Wendepunkt ja zwei Bedingungen gibt.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Tannibi/1568018311030_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1568018311000)
"Eine eindeutige Lösung gibt es zwar nicht,
weil eine Bedingung fehlt" sagt genau das, was ich sage.
Mit vier - unabhängigen - Bedingungen hätte
man eine eindeutige Lösung. Da eine fehlt, hat man
nur drei, denn der Wendepunkt liefert nur eine.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
danke die allg. Form kenne ich habe aber nur 3 Bedingungen brauche 4 Bedingungen
brauche 4 habe nur 3 Bedingungen: f(2)=0 f ' '(2)=0 f '(3)=0