Geschwindigkeit des Elektrons?
Hallo,
ich brauche eure Hilfe bei einer Physikaufgabe, da ich denke, dass mein Ergebnis falsch ist.
die Aufgabe lautet:
Ein Elektron wird in der Katode einer Röntgenröhre mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit emittiert und durchläuft dann eine Beschläunigungsspannung von U= 30kV
gegeben ist noch E(elektron): 30 keV
Wie größ ist die Geschwindigkeit, die das Elentron nach durchlaufen dieser Spannung aufweist! Vergleiche sie mit der Lichtgeschwindigkeit c=2,99792458 × 10^8 m/s
Ich habe so gerechnet:
kinetische Energie = E --> E= 1/2 × m × v^2
und habe nach v umgestellt: v= Wurzel aus 2 × E/m(elektron):
ich habe dann jedenfalls die 30 keV in Joule umgerechnet: 1,44198×10^-10 J kam bei mir raus
Dann habe ich die Wurzel aus 2× 1,44198×10^-10 J/9,10938 × 10^-31 kg gezogen
Da kam raus: 1,779304211×10^10 m/s
Was habe ich falsch gerechnet? Ich dachte, dass nicht schneller sei als die Lichtgeschwindigkeit?
3 Antworten
Hallo etacarinae2212,
wie kommst Du bei 30keV auf 1,44×10^{-10}J? Kannst Du dies noch nachvollziehen?
Der Wert ist natürlich falsch. Die Elementarladung beträgt ca. 1,6×10^{-19}C, und dementsprechend ist
1eV ≈ 1,6×10^{-19}J
=> 3×10^{4}eV ≈ 4,8×10^{-15}J,
wie auch MaxChemieNoob schon gesagt hat (es ist übrigens im Regelfall unüblich, so viele Nachkommastellen aufzuführen, und zu mehr Erkenntnis führt es nicht).
Allerdings hast Du auch keine Garantie dafür, dass Du die Näherung
(1.1) E_{kin} ≈ ½·m·v²
(1.2) v² ≈ 2E_{kin}/m
überhaupt noch anwenden kannst. Am besten solltest Du sie mit der Ruheenergie
(2) E_{0} = mc² ≈ 9,1×10^{-31}kg·9×10^{16}m²/s² ≈ 8,2×10^{-14}J ≈ 5,1×10^{5}eV = 5,1×10²keV
des Elektrons vergleichen. Es sind knapp 6% davon. Die exakte Formel für die Gesamtenergie lautet
(3.1) E = E_{0} + E_{kin} = E_{0}·γ = E_{0}/√{1 – β²},
wobei β=v/c ist. Das kannst Du nach β umstellen und bekommst
(3.2) β = √{1 – (E_{0}/E)²},
wobei Du hier
E_{0}/E ≈ 5,1×10^{5}eV/5,4×10^{5}eV = 17/18
ansetzen kannst. Damit kommst Du auf
β = √{35/324} ≈ 0,33.
Mit der Näherung
(4.1) v ≈ √{2E_{kin}/m}
(4.2) β ≈ √{2E_{kin}/E_{0}}
wärest Du auf etwa √{6/51}=√{2/17}≈0,34 gekommen, hättest die Geschwindigkeit alao leicht überschätzt. Bei etwa einem Drittel der Lichtgeschwindigkeit ist dieser systematische Fehler - vielleicht überraschenderweise - noch relativ klein. In absoluten Zahlen ist das trotzdem eine Menge, weil immerhin 0,01c≈3×10^{6}m/s ist.
Jedenfalls kommst Du auf etwas weniger als 10^{8}m/s.
Der Ansatz sieht gut aus, bei der Rechnung bin ich mir bei der Umformung von keV zu J nicht ganz sicher, ich meine die Elementarladung ist ja schon bei 10^-19, vielleicht prüf das nochmal nach
30 kiloelectron volts = 4,8065297 x 10^-15 joules
Danke! :) hahaha und deine Interessen in deinem Profil übertreffen alles 😂😂👌🏼👌🏼
Relativistischer Ansatz?