Gesamtmasse der Halbkugel?
Hallo,
Gegeben ist eine Halbkugel
K={(x,y,z) e R^3 | x^2 + y^2 + z^2 <= 4, z>=0}
und deren Massendichte p(x,y,z)=z.
Wie kann ich jetzt die Gesamtmasse bestimmen? Lerne für die Klausur und bräuchte bei diesem Beispiel dringen hilfe, da ich hier gar nicht weiterkomme.
1 Antwort
M = int_K rho(x, y, z) dx dy dz
= int_K z dx dy dz
Übergang zu Kugelkoordinaten:
= int_{r = 0}^{2} int_{theta = 0}^{pi/2} int_{phi = 0}^{2pi} r*sin(theta) * (r^2*sin(theta)) d(phi) d(theta) dr
Ausrechnen kannst Du das dann selbst… :-)
r wird von 0 bis 2 integriert, weil die Kugelhälfte Radius r = 2 hat, theta wird von 0 bis pi/2 anstatt von -pi/2 bis pi/2 integriert, da nur die obere Hälfte der Kugel betrachtet wird…
kann ich theta von 0 bis pi auch integrieren
r*sin(theta) * (r^2*sin(theta)) und das da hier wie komme ich genau auf das was müsste ich dafür berücksichtigen
Nein, dann integrierst Du zweimal über die obere Hälfte: einmal von der x-y-Ebene (Äquator) bis hoch zum Nordpol und dann wieder zurück vom Nordpol bis zum Äquator…
r*sin(theta) ist die z-Koordinate, also die Massen-Dichte, in Kugelkoordinaten - r^2*sin(theta) d(phi) d(theta) dr ist das Volumenelement dV, über das Du integrierst, ausgedrückt in Kugelkoordinaten anstatt in kartesischen Koordinaten dx dy dz…
Sorry, ich hab mich vertan - die z-Koordinate ist z = r*cos(theta), weil man nach Standard-Konvention den Polarwinkel theta runter vom Nordpol bis zum Äquator integriert. Hab das oben in meiner Antwort schon geändert…
r^2*sin(theta), das ist mir ziemlich unklar, wie komme ich auf das ?
int_{r = 0}^{2} int_{theta = 0}^{pi/2} int_{phi = 0}^{2pi}, gilt das da hier allgemein so oder sind die integralwerte von der angabe abhöngig?