Gerade bildet mit den Achsen ein Dreieck/ Gleichung zum Flächeninhalt aufstellen
Hallo,ich lerne gerade für eine Mathe Klausur und nun bin ich am ersten Problem angekommen: Die Gerade g geht durch den Punkt P. Diese Gerade bildet mit den Achsen(X,Y) ein Dreieck. Bestimmen sie die Gleichung von g so,dass das Dreieck den angegebenen Flächeninhalt hat.
A) P(3/2) A=12 FE Wäre echt klasse wenn mir jemand zeigen könnte wie man das rechnerisch lösen kann,zeichnerisch hab ich damit keine Probleme aber ich komme einfach nicht darauf wie ich das jetzt in ne Gleichung verpackt bekomm.
3 Antworten
Die Gerade, die durch P geht, ist parallel zu der Geraden, die duch die Achsenabschniite mit den Koordinaten von P geht. Das heißt, ich muss die Steigung dieser Geraden heraus bekommen. Das ist einfach, denn vom Schnittpunkt mit der y-Achse gehe ich nach unten, also delta y = -2; in x-Richtung bis 3, also delta x = 3. Damit ist
m = (delta y) / (delta x) = -2 / 3
Die Gleichung selber interessiert mich nicht, sondern die der Parallelen, die durch P geht. Deren allgemeine Gleichung ist y = mx +b.
Punkt P(3|2) eingesetzt:
2 = ( -2/3) * 3 +b .................... Nach b auflösen
b = 4
Damit liegt die Gleichung der Geraden durch P fest:
y = (-2/3)x + 4
Daraus erhalte ich den Schnittpunkt mit der x-Achse durch y = 0
(-2/3)x + 4 = 0 ......... Nach x auflösen
x = 6
Die Seitenlängen des Dreiecks liegen damit fest, nämlich a=6 und b=4.
Da sich die Achsen gegenseitig zur Höhe haben,ist die Fläche dieses Dreiecks
A = ab / 2
A = 12 F.E.
q.e.d.
Ah ok,den Y-Achsenabschnitt musst du gar nicht kennen.....
Das kann man jetzt verschieden ansetzen. Entweder nimmt man meine Voraussetzung einfach als Annahme und stellt dann am Ende fest, dass beide Bedingungen erfüllt sind, also dass die Gerade durch P geht und eine Fläche von 12 ergibt. Ob es noch mehr solcher Dreiecke gibt, ist nicht Gegenstand der Untersuchung; es sollte nur eines gefunden werden.
Spezifischer ist die Überlegung von ähnlichen Dreiecken. Das Dreieck, das mir am ehesten eine vernünftige Steigung liefert,ist jenes, das man mit den Achsenabschnitten von P bildet, x=3, y=2. Da kann ich die Steigung -2/3 direkt ablesen. (Das habe ich ja mit den Deltas geschildert.) Steigung ist immer y-Abschnitt / x-Abschnitt. Minus dann, wenn die Gerade von links oben nach rechts unten verläuft.
Dann habe ich eine Parallele zu dieser nun bekannten Steigung durch P gelegt. Für all die anderen von dir vermuteten Flächen kann ich schwerlich eine Steigung aus dem Punkt P ermitteln.
Für 3 und 8 habe ich es schnell mal überschlagen. Es gibt die so genannte Achsenabschnittsgleichung der Geraden
x/a + y/b = 1
Meine Achsenabschnittspunkte sind 6 und 4,also
x/6 + y/4 = 1
Wenn du die Koordinaten von P einsetzt, stimmt das genau. Wenn du hingegen 3 und 8 nimmst, entsteht
x/3 + y/8 = 1
Wenn du hier P einsetzt, gibt es
3/3 + 2/8 = 1. WIderspruch! Denn die linke Seite ist nicht 1. Daher geht diese Gerade nicht durch P, hat zwar die Fläche, erfüllt aber nicht, dass P auf der Hypotenuse liegen soll.
Aber wie sieht es mit der Steigung bei (-3/0) aus?Da kann ich doch schwer eine Steigung ablesen oder?
Ich wüsste im Augenblick nicht, wofür du die Steigung in (-3|0) hier bräuchtest. Doch es ist immer möglich, die Steigung einer Geraden auszurechnen, wenn ein weiterer Punkt bekannt ist.
Ein Punkt für sich hat keine Steigung.
Nein ich meinte das (-3/0) ein weiterer Punkt ist bei dem man ein Dreieck mit 7,5 FE konstruieren muss. Das heißt also a=-3 und b= -5 oder +5
Aber ich verstehe nicht wie du in deiner ersten Antwort einfach die Steigung erstellt hast,denn wenn ich die berechnet hab ist das folgende ja nicht mehr so schwer( einfach b ausrechnen durch einsetzen der Punkte und den X Achsenabschnitt durch Y=0)?
Wie würde die Steigung dann bei dem Punkt (-1/-2) aussehen,wobei man ein Dreieck mit 4,5 FE erstellen muss?
PS:Sorry das ich so nerve
Na, ja, von Nerven will ich nicht gerade sprechen, aber du bist eben ziemlich hartnäckig, obwohl du bereits mehrere Lösungswege zu deinem Problem bekommen hast. Das hätte für die Schule reichen sollen, denn die Aufgabe war so gestellt, dass man eine proportionale Lösung herstellen konnte.
Was dein Einwurf mit 7,5 F.E. zu bedeuten haben könnte, dem bin ich nicht nachgegangen. Dafür habe ich mich mit dem letzten Problem beschäftigt. Es ist erheblich komplizierter, weil man nicht mt der Ähnlichkeit arbeiten kann.
Es gibt zwei Dreiecke, deren Hypotenuse durch (-1|-2) gehen und die den Flächeninhalt 4,5 F.E. haben:
1.) y = -4x - 6
2.) y = -x - 3
Das zu verifizieren, wird dir leicht fallen. Wenn dich der Lösungsweg interessiert, rechne erstmal selber ein bisschen. Ich habe auch etwas geknobelt; aber du hast von mir in den anderen Beiträgen alles zu wissen bekommen, was man dafür braucht - inkl. der Achsenabschnittsformel.
Jetzt ist es verdammt spät; und morgen habe ich viel zu tun. Kann also sein, dass du den Lösungsweg erst Dienstag vorfindest. Aber es sind ja Ferien, und es wird nicht so eilen.
Ich hatte gehofft, einen Lösungsansatz von dir vorzufinden, (wo du mir schon soviel Hausarbeit verschafft hast), gebe aber zu, dass es nicht einfach ist. Je länger man über die Aufgabe nachdenkt, desto mehr fällt einem dazu sein. Und hier jetzt also der Königsweg; und er arbeitet völlig ohne Steigung und Geometrie überhaupt. Deine Aufgabe habe ich einfach über 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten gelöst. Der Lösungsweg ist mir eingefallen, weil man mit der Steigung wirklich nichts ausrichten kann.
Problem: Gerade geht durch P (-1|-2). Dreieck mit Achsen hat 4,5 F.E.
Vorbemerkung: Die Achsenabschnitte a (auf der x-Achse) und b (auf der y-Achse) bilden ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von 9 F.E. Die Diagonale durch dieses Rechteck entspricht der Dreieckshypotenuse, die durch P geht. Die Achsenabschnittsformel wird zur Gleichung II.
Gleichung I : ab = 9
b = 9/a
Gleichung II : x/a + y/b = 1
Hier kann ich die Koordinaten von P eintragen, weil P auf der Hypotenuse liegt.
GII) -1/a – 2/b = 1
(Musstest du unbedingt negative Koordinaten nehmen? Nun musst du
noch mehr denken!)
Ich ersetze dann gemäß GI.
GII) -1/a – 2/(9/a) = 1 (An Kehrwert denken!)
GII) -1/a – 2a/9 = 1 ....| Hauptnenner 9a; durchmultiplizieren
GII) -9 – 2a² = 9a .... | alles nach links und durch (-2) dividieren
a² + 4,5 a + 4,5 = 0 ... | p,q-Formel für a1,2
a1 = -1,5
a2 = -3
Einsetzen in Gleichung I
GI) b1 = -6
b2 = -3
Jetzt a1 und b1 in GII einsetzen:
x/(-1,5) +y/(-6) = 1 .... | nach y auflösen
y = -4x – 6 (Erste Gleichung, für die die Bedingungen zutreffen)
Jetzt a2 und b2 in GII einsetzen:
x/(-3) +y/(-3) = 1 .... | nach y auflösen
y = -x – 3 (Zweite Gleichung, für die die Bedingungen zutreffen)
Mehr Geraden gibt es nicht.
Du könntest jetzt nach diesem Verfahren auch die Originalaufgabe lösen und dabei feststellen, dass nur eine Lösung möglich ist. Wenn du es nicht hinbekommst, helfe ich dir. Aber mal äußern müsstest du dich schon.
DANKE!
Die 1. Aufgabe habe ich gerade nach diesem Schema nachgerechnet und hatte keine Probleme.
Also so wie ich das verstanden habe: Das heißt das ich die erste Gleichung immer aufstellen kann indem ich den doppelten Flächeninhalt nehme und als x in a*b=x einsetze und dann nach b= x/a umstelle? OK und die zweite ergibt sich daraus das ich die Koordinaten in die Achsenabschnittsformel einsetze.
Dann setze ich für b bei y/b (Achsenabschnittsformel) mein Wert aus Gleichung 1 ein. Danach hab ich versch. Brüche und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner. Danach muss ich die Gleichung in die Form a(hoch)2 + a + z (variable für normale Zahl) = 0 bringen. Dann die PQ-Formel(oder abc-Formel) anwenden. Ich erhalte 2 Ergebnisse( a1 und a2). Diese kann ich dann in die 1. Gleichung einsetzen. Ich erhalte 2 „b“ Ergebnisse (b1,b2).
Und jetzt jeweils a1+b1 und a2+b2 in die Achsenabschnittsformel und ich erhalte 2 Geradengleichungen(falls die PQ-Formel 2 Ergebnisse hergibt, nicht so wie bei Aufgabe 1)
Klasse,du hast mir sehr geholfen.
Oh, ich hatte dir gerade noch eine PN geschickt, dass ich gar keine Antwort von dir hätte. Tut mir leid; ich hätte erst nochmal hierher gucken sollen.
Dann steht ja nur noch die Sache mit der Steigung aus. Natürlich hat der Punkt P keine Steigung. Was ich getan habe, ist, von dem Punkt aus je ein Lot auf die beiden Achsen zu fällen. Das ergibt dort die Schnittpunkte (3|0 und (0|2). Diese beiden bilden eine Gerade, die eine Steigung hat.
Dass dies bereits die richtige Steigung sei, war zu dem Zeitpunkt noch eine Annahme. So ein Verfahren ist zulässig in der Mathematik. Ich konnte dann nachweisen, dass die andere Bedingung (Fläche) dadurch hergestellt werden konnte, sonst hätte es zu einem Widerspruch geführt wie bei der anderen zufälligen Angabe.
OK,also hast du nur eine Vermutung geäußert die dann richtig war,was vielleicht auch daran lag das die Zahlen ideal waren. Heißt also es gibt keine Formel oder ähnliches und diese Vorgehensweise ist nicht bei allen Aufgaben dieser Art empfehlenswert.
Ich hätte da aber noch eine Frage:
Nachdem ich jetzt bei 4 Aufgaben einwandfreie Lösungen hatte,gibt es bei der 5. anscheinend keine Lösung, dh. bei der PQ-Formel muss ich die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen,was nicht möglich ist. Also ist dieses Dreieck nicht erfüllbar,oder?
Mit der Lösung über 2 Unbekannte in 2 Gleichungen hast du eine allgemeingültige Lösung für Aufgaben dieses Typs. Die Diskriminante entscheidet wie auch bei Nullstellen oder sich schneidenden Kurven über die Anzahl der Lösungen.
Ist das, was unter der Wurzel steht, positiv, haben wir 2 Lösungen;
ist es Null, gibt es genau eine Lösung;
ist es negativ, gibt es gar keine Lösung.
Deine Schlussfolgerung stimmt also.
Diese Aufgabe ist faszinierend, da sie durchaus mehrere Möglichkeiten impliziert, sie zu lösen, wie auch Psychironiker zeigt. Hier noch eine ziemlich elementare:
Der Punkt P(3|2) bildet mit dem Ursprung und den Parallelen zu den Achsen ein Rechteck von 6 F.E. (die doppelte Fläche des Dreiecks aus Ursprung und den Achsenschnittpunkten). Die doppelte Fläche des erstrebten Dreiecks ist 24 F.E., also das 4-fache des obigen Rechtecks. Eine proportionale Vervierfachng erreiche ich durch Verdoppelung der Seiten. Das ergibt als Achsenabschnitte
x: 2 * 3 = 6
y: 2 * 2 = 4
Die Achsenabschnittsgleichung wäre damit
x/6 + y/4 = 1
Daraus machen wir jetzt die "normale" Gleichung, die ja auch aufgestellt werden sollte.
y/4 = -x/6 + 1 .......| 4
y = (-2/3) x + 4*
Schnell noch überprüfen, ob die Gerade durch P geht. Das kann man im Kopf und hätte man schon bei der Achsenabschnittsgleichung tun können. => Sie geht durch P.
Rechnerisch war dies das Kürzeste, setzt aber die Kenntnis der Achsenabschnittsformel voraus. Das Längste waren die Erläuterungen, die in der Rechnung selbst ja nicht auftauchen.
Ich sehe gerade, dass Volens das im Kommentar macht; ich hätte gleich so angefangen (und mir keine Gedanken um die Steigung der Gerade gemacht).
Die Gerade g mit durch die Punkte (a | 0 ) und ( 0 | b) hat die (so genannte Achsenabschnitts-)Form:
x / a + y / b = 1,
wie du durch Einsetzen der Punkte leicht bestätigst. - Dann hat das Dreieck der Aufgabe den Flächeninhalt ( " | | " Betragsstriche):
| ab / 2 | = 12 ⇔ ±ab = 24 ⇔ b = ±24 / a; (1)
weil a ≠ 0 vorausgesetzt werden kann (warum übrigens?). - Wegen P ∈ g ist
3 / a + 2 / b = 1; (2)
da P im ersten Quadranten des Koordinatensystem liegt, haben a und b das gleiche Vorzeichen, und das Doppelvorzeichen in (1) kann durch ein "+" ersetzt werden. - (2) mit 8 multiplizieren und (1) einsetzen:
8 = 24 / a + 16 / b = b + 16 / b;
mit b multiplizieren, auf eine Seite bringen, zweite binomische Formel (wenn das in einem anderen Fall nicht geht, pq-Formel):
0 = b² -8b +16 = (b -4)² ⇒ b = 4;
in (1) einsetzen, umformen oder "scharf hinsehen" ⇒ a = 6, also ist
g: x / 6 + y / 4 = 1
die gesuchte Gleichung. Du kannst das zu
y = -2x/3 + 4
umformen, aber der Aufgabentext verlangt das nicht.
Das Verfahren hat den Vorteil, das es immer die vollständige Lösung liefert.
Denn es kann mehrere Lösungen geben: Für P ( -3 | 0 ) ist (abzulesen) a = -3, aber die Lösungen b = +8 oder b = -8 sind möglich. In dem Fall kann das Doppelvorzeichen nicht vernachlässigt werden, weil P wegen +0 = 0 = -0
- dem zweiten Quadranten zugeordnet werden kann ( ⇒ unterschiedliche Vorzeichen von a und b ⇒ " - " in (1) ), aber auch
- dem dritten Quadranten ( ⇒ gleiche Vorzeichen von a und b ⇒ " + " in (1)).
Das Verfahren hat den Nachteil, weniger anschaulich zu sein..
Hmm,Danke. Soweit ich das verstanden habe benötige ich also den Y(b) und den X-Achsenschnittspunkt. Aber ich verstehe nicht ganz wie du auf die Steigung gekommen bist...Du weißt den Schnittpunkt mit y doch anfangs gar nicht,oder?
Und wäre es nicht möglich das die Gerade unterschiedliche Dreiecke ergibt? Also zb. mit b=8 und x=3 (3*8= 24/2 =12)?