Geometrie: Wie rechnet man diese Aufgabe (Binomische Formel)?
Hey.
hier erstmal die aufgabe:
Ein schilfrohr ragt 5 m vom ufer eines Teiches entfernt einen Meter über die Wasserfläche empor. Zieht man die Spitze ans Ufer, so berührt sie gerade den Wasserspiegel. Wie tief ist der Teich?
Als Skizze hab ich mir ein Dreieck gezeichnet mit den Seiten a, b und c
gesucht wird die Länge a
b = 5
c = Ist die Hypotenuse, allerdings kenne ich davon nur 1 m
Wie kann ich das ganze nun also ausrechnen?
Der Lehrer hat es uns mit einer Binomischen Formel gezeigt, habs allerdings in dem Moment nicht verstanden
Brauche wirklich eure Hilfe... danke schonmal!
4 Antworten
Wenn du dir eine Skizze zeichenst bekommst du ein rechtwinkliges Dreieck.
Die Wasseroberfläche ist dabei eine Seite.
Die Seitenlänge kennen wir das sind die 5 m Abstand zum Ufer. (Kathete 1)
Die Tiefe nennen wir sie "x" kennen wir nicht. (Kathete 2)
Wir kenne aber die Hypotenuse in diesem Dreieck. Das ist das gedrehte Schilfrohr. Die Länge ist hier ist die Wassertiefe + 1 m die das Schilfrohr über die Wasseroberfläche hinaussteht.
Jetzt kommt Pythagoras:
x² + 5² = (1+x)²
hier taucht nun auch der 1. Binom auf. Den wir zuerst einmal auflösen.
(1+x)² = 1² + 2*1*x + x²
einsetzen
x² + 5² = 1² + 2*1*x + x²
nun machen wir -x²
5² = 1² + 2*1*x
jetzt lösen wir die Potenzen auf und fassen zusammen.
25 = 1 + 2x
jetzt - 1 um x zu separieren
24 = 2x
am ende noch geteilt durch 2
x = Wassertiefe = 12
ich hab jetzt die selbe aufgabe nochmal etwas verändert.. statt 1m Spitze jetzt 3m und statt 5m Ufer jetzt 6m
stimmt das dann? x=4,5m
hypotenuse = 7,5m
da würde ich mir eine schnur nehmen und das mal eben locker 1:10 nach basteln. ist ja nicht so schwer, weil euer lehrer euch zum glück nichts von der neigung des untergrund erzählt hat.
den würde ich aber morgen mal gerne mit einem grinsen im gesicht fragen, wie das wohl währe, wenn das ufer unterhalb der wasseroberfläche ca genauso weit absinken würde das die länge der Spitze gerade ganz genau das ufer berührt. ;)
tatsächlich konnte man es nicht grafisch darstellen, ohne die fehlenden werte und ja, die länge in der aufgabe ist sehr unrealistisch.. trotzdem war 12 die richtige antwort. dennoch danke für deine antwort!
Sei w die Wassertiefe. Dann ist laut Pythagoras
w²+5²=(w+1)²
denn w+1 ist die Gesamtlänge des Schilfrohres, welches an Land gezogen die Länge der Hypothenuse ist.
w²+25=w²+2w+1
2w=24
w=12
Der Teich ist 12m tief
dem nach wäre das Schilfrohr ja insgesamt 13 Meter lang, vom Boden bis zur Spitze.
Das kommt mir ungewöhnlich lang vor für ein Schilf.
Sihe hier:
die Aufgabe wurde schon mal in ähnlicher Version gestellt.
(siehe meine Antwort mit dem Stern!)
LG,
Heni
hi vielen dank für deine ausführliche antwort.. könntest du mir eine ähnliche aufgabe geben, die ich dann ausrechnen kann, um zu prüfen ob ich es verstanden hab? ich schreibe dir dann das ergebnis