Gemeinsamen Punkt der Gerade g und Ebene E bestimmen?
Hallo, die Frage steht schon oben. Bin gerade am lernen und weiß nicht, wie ich vorgehen muss.
Wäre super, wenn mir jemand die nr.6 c) erklären könnte.
Danke schon mal
3 Antworten
Die Ortsvektoren x⃗ der gesuchten Punkte müssen einerseits die Geradengleichung
und andererseits die Ebenengleichung
erfüllen. Gleichsetzen (da nun aufgrund des gesuchten Schnittpunkts x⃗ = x⃗ sein soll) liefert...
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Man kann nun, wenn man möchte den Teil t ⋅ (1; -1; 0) mit Subtraktion auf die andere Seite bringen. (Damit man die Variablen alle auf der linken Seite hat.)
Jedenfalls erhält man so ein lineares Gleichungssystem in den Variablen r, s, t. (Indem man die einzelnen Zeilen betrachtet.)
Bzw.:
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Dieses Gleichungssystem kann man nun lösen, um die Werte r = 0, s = 5/2, t = 1/2 zu erhalten. Diese kann man dann in die ursprünglichen Gleichungen (Geradengleichung bzw. Ebenengleichung) einsetzen, um den Ortsvektor x⃗ des gesuchten Schnittpunkts zu erhalten. Also...
[Du musst hier am Ende nicht unbedingt beides berechnen. Wenn du dich nicht verrechnet hast, musst du hier sowohl mit der Geradengleichung als auch mit der Ebenengleichung den gleichen Punkt ( 5/2 | 5/2 | 0 ) erhalten. Auch müsstest du das Gleichungssystem vorher eigentlich gar nicht komplett lösen, sondern beispielsweise nur soweit, bis du den Parameter t erhalten hast, den du dann in die Geradengleichung einsetzen kannst, um den gesuchten Schnittpunkt zu erhalten.]
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Jedenfalls solltest du so bei der Aufgabe 6 c) den Schnittpunkt ( 5/2 | 5/2 | 0 ) erhalten.
Wegen der Geradengleichung hat man...
x₁ = 2 + t ⋅ 1
x₂ = 3 + t ⋅ (-1)
x₃ = -1 + t ⋅ 2
Da nach dem gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt) der Geraden mit der Ebene gesucht ist. Müssen die Koordinaten (x₁, x₂, x₃) bei der Geradengleichung die gleichen Koordinaten sein wie in der Ebenengleichung. D.h. man kann in die Gleichungen der Geraden in die Ebenengleichung...
ax₁ - ax₂ + 2ax₃ = -3a
...einsetzen.
Bzw. würde ich die Ebenengleichung erst einmal vereinfachen, indem man durch a dividiert und so das a aus der Gleichung rauskürzt:
x₁ - x₂ + 2x₃ = -3
[Das kannst du natürlich auch später machen. Aber ich würde das gleich machen, mit dem Rauskürzen von a, wenn man es bemerkt.]
Jedenfalls kann man nun die Geradengleichung in die (vereinfachte) Ebenengleichung einsetzen und erhält...
(2 + t ⋅ 1) - (3 + t ⋅ (-1)) + 2 ⋅ (-1 + t ⋅ 2) = -3
Diese Gleichung kann man nun nach t auflösen. [Du solltest t = 0 erhalten.]
Dann kannst du den so erhaltenen Wert für t in die Geradengleichung einsetzen, um den gesuchten Schnittpunkt zu erhalten. [Du solltest (2 | 3 | -1) erhalten.]
einfach Gerade und Ebene gleichstzen → g:=E:
Gerade
x-Richtung: 1) x=2+t*1
y-Richtung: 2) y=3+t*(-1)
z-Richtung: 3) z=3+t*2
Ebenengleichung E: x=(0/0/0)+r*(1/0/0)+s*(1/1/0)
x-R. 2+1*t=0+r*1+s*1
y-R. 3-1*t=0+r*0+s*1
z-R. 3+2*t=0+r*0+s*0 → t=-3/2
t=-3/2 in die Geradengleichung einsetzen,ergibt dann den Schnittpunkt Gerade → Ebene
Hinweis:Hier ist die Lösung besonders einfach,wegen 3+2*r=0.Im Normalfall muß das lineare Gleichungssystem (LGS) mit den 3 Unbekannten,t,r und s und den 3 Gleichungen gelöst werden
Mach auch die Probe,indem du die beiden Ebenenparameter ,r und s mit dem Schnittpunkt berechnest
Schnittpunkt Ps(xs/ys/zs) gleichgesetzt mit der Ebene
(xs/ys/zs)=(0/0/0)+r*(1/0/0)+s*(1/1/0)
x-Richtung: 1) xs=0+r*1+s*1
y-Richtung: 2) ys=0+r*0+s*1
z-Richtung: 3) zs=0+r*0+s*0
aus 2) ys=s*1 → s=ys/1 in 1) ergibt r=...
Den Rest schaffst du selber.
Koordinatengleichung der Ebene E: a*x+b*y+c*z+d=0
Gerade g: x=(2/3/-1)+t*(1/-1/2)
x-Richtung: x=2+t*1
y-Richtung: y=3+t*(-1)
z-Richtung: -1+t*2
in die Ebenengleichung eingesetzt
a*(2+1*t)-a*(3-1*t)+2*a*(-1+2*t)=-3*a
ausmultiplizieren,zusammenfassen und nach t=..... umstellen
t(a)=.....
Wo nun der Schnittpunkt mit der Ebene liegt,liegt am Parameter a
du musst damit ein lgs aufstellen und dieses lösen
Hallo, vielen lieben Dank