Kreis Mittelpunkt und Radius durch drei Punkte bestimmen?
Hallo, vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen.
Ich habe drei Punkte: A(-8/3), B(8/-5) und C(10/9). Ich darf keine weiteren Punkte zeichnerisch bestimmen und weiß dass ich die Mittelsenkrechte bestimmen muss und dann beweisen muss dass diese Gerade orthogonal zueinander stehen (alles in Parameterform) und dann eben noch den Mittelpunkt und den Radius. Kann mir das bitte jemand möglichst detailliert erklären bitte?
2 Antworten
Hallo,
Du weißt doch, wie man aus zwei Punkten einen Vektor bestimmt oder eine Gerade oder auch eine Strecke?
Den Mittelpunkt eines Kreises kannst Du zeichnerisch bestimmen, wenn Du drei unterschiedliche Punkte auf diesem Kreis gegeben hast, indem Du jeweils zwei von ihnen durch eine Strecke verbindest, von den Strecken die Mittelsenkrechten bestimmst und den Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten ermittelst. Das ist dann der Mittelpunkt des Kreises.
Rechnerisch verbindest Du jeweils zwei der gegebenen Punkte nach dem Muster
A+s*(B-A) bzw. B+r*(C-B)
Wenn Du s und r durch 1/2 ersetzt und für A, B und C die gegebenen Koordinaten einsetzt, bekommst Du die Mittelpunkte der beiden Strecken, die gleichzeitig die Anknüpfpunkte der beiden Mittelsenkrechten sind.
Die Richtungsvektoren der Mittelsenkrechten verlaufen senkrecht
zu B-A bzw. zu C-B. Wenn Du einen Richtungsvektor (x/y) hast, dann ist ein Vektor
(y/-x) dazu senkrecht.
Du bekommst nun die Gleichung:
Mittelpunkt von AB+s*(Senkrechte zu Vektor B-A) =
Mittelpunkt von BC+t*(Senkrechte zu Vektor C-B).
Da die Punkte und die Vektoren jeweils zwei Koordinaten haben, hast Du für die Unbekannten s und t zwei Gleichungen.
Es reicht, nur s oder nur t zu bestimmen, da beide Parameter zum Mittelpunkt führen.
Zur Probe kannst Du aber beide bestimmen. Führen sie nicht zum gleichen Punkt, hast Du etwas falsch gemacht.
Zur Kontrolle: M=(2|3).
Herzliche Grüße,
Willy
alternativ über Schnitt linearer Funktionen:
Mittelpunkt AC (1/6)
Steigung m(AC) = 1/3
Mittelsenkrechte: y = -3x + 9
Mittelpunkt AB (0/-1)
Steigung m(AB) = -1/2
Mittelsenkrechte: y = 2x - 1
gleichsetzen: M(2/3)