Gemeinsame Tangente von zwei Schaubildern? (Differenzialrechnungen)?
Ich sitze schon den ganzen Tag an einer Aufgabe.. sie lautet wie folgt:
Zeigen sie: Die Schaubilder von f und g haben eine gemeinsame Tangente.
f(x)= e^2x ; g(x)= 2e^x - 1
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Schachpapa/1456653634658_nmmslarge__116_32_432_432_d36a6a6d62721271685e85017f4dbcb0.jpg?v=1456653637000)
Den ganzen Tag? Und was hast du so lange gemacht?
Grün ist e^2x
Blau ist 2e^x - 1
Schwarz ist die Tangente.
Zwei Funktionen haben dann eine gemeinsame Tangente, wenn sie bei mind. einem X-Wert den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.
Das müsstest du zeigen. Siehst du, welches de gemeinsame x-Wert ist?
PS: Es gibt auch weitere Möglichkeiten, bei denen zwei Fkt. eine gemeinsame Tangente haben. Meine obige Charakterisierung passt für diese Aufgabe.
Immer hilfreich: Skizze machen, GTR oder GeoGebra zur Veranschaulichung nutzen
Die Tangente ist natürlich auch noch Tangente an andere Funktionen in anderen Punkten:
![- (Schule, Mathematik, Differentialrechnung)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/426020079/0_big.png?v=1637266322000)
![- (Schule, Mathematik, Differentialrechnung)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/426020079/1_big.png?v=1637266322000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Maxi170703/1631529279423_nmmslarge__0_108_236_235_7ff67a8b22f8a25ca8beae07cf28d5bd.jpg?v=1631529280000)
f‘(x) = g‘(x)
2e^2x = 2e^x-1
e^2x = e^x-1
2x = x-1
x = -1
Dort ist die Steigung gleich, eine gemeinsame Tangente ist es jedoch nicht, die Funktionen haben bei x = -1 unterschiedliche Funktionswerte, die Tangenten somit andere y-Achsenabschnitte.
Ach, das -1 ist gar nicht im Exponenten, na super…
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Maxi170703/1631529279423_nmmslarge__0_108_236_235_7ff67a8b22f8a25ca8beae07cf28d5bd.jpg?v=1631529280000)
Ich dachte die -1 steht im Exponenten! Daher habe ich mich auch gewundert, da es so wie ich es gerechnet habe keine gemeinsame Tangente gibt, nur eine gemeinsame Steigung bei x = -1
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ist ja auch oft missverständlich, weil man hier nur schwer Formeln schreiben kann!
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Maxi170703/1631529279423_nmmslarge__0_108_236_235_7ff67a8b22f8a25ca8beae07cf28d5bd.jpg?v=1631529280000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ansatz
f(x) = g(x)
und (!)
f'(x) = g'(x)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
nach was wird bei f(x) = g(x) aufgelöst? und nach was bei f‘(x) = g‘(x)?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Maxi170703/1631529279423_nmmslarge__0_108_236_235_7ff67a8b22f8a25ca8beae07cf28d5bd.jpg?v=1631529280000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ich sehe die Aufgabe nicht. Aber wenn da steht "Zeigen Sie" könntest du den Berührpunkt ablesen und den Wert in die beiden Bedingungen einsetzen?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ich könnte theoretisch zeichnen, mein Lehrer sagt aber immer, wir müssen solche Aufgaben rechnerisch lösen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
f(x)= e^2x = g(x)= 2e^x - 1
f'(x) = 2e^2x = 2 e^x -> 2 e^x = 2 -> e^x = 1 -> x = 0 prüfen in erster Bedingung
f(0) = 2e^0 = 2 g(0) = 2e^0 - 1 = 1
Das passt nicht! Wie ist die Funktionsgleichung von g(x)?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das bedeutet, dass sich die Ableitung von f und g sich in einem Punkt schneiden. Also ableiten und gleichsetzen und auf x auflösen, um die Stelle zu erhalten, an denen sich die beiden Funktionen eine Tangente teilen
f‘(x) = g‘(x)
2e^2x = 2e^x-1
e^2x = e^x-1
e^2x = e^x-1/2 müsste es heißen.