Geleichung händisch lösen?
Erstes Beispiel)
0,0004*x-0,04-400/x^2=0
Zweites Beispiel)
0,0004*x-0,04-300x^2=0
Der Lehrer meint, dass wie Test ohne Geogebra machen werden. Ich weiss nicht wie er die Gleichungssysteme geben würde, aber wie löst man so eine Gleichung lösen.
4 Antworten
Erstmal alles durch 4 mal 10.000x²:
Jetzt wird es tatsächlich nicht mehr händisch lösbar, zumal es bis zu drei Nullstellen geben kann
Ich glaube nicht, dass man diese Gleichung (dritten Grades) von Hand lösen kann.
Oder ich habe irgendwas falsch verstanden.
Du willst doch nicht wirklich diese Gleichung mit der Cardanischen Formel von Hand lösen? Nein, das glaube ich nicht.
In diesem Fall sieht es mir nicht danach aus, als wenn das so einfach möglich wäre.
Als Erstes sorgt man dafür, dass x nirgendwo im Nenner steht und womöglich, dass der "Leitkoeffizient" (Koeffizient der höchsten Potenz von x) 1 ist (Multiplizieren beider Seiten der Gleichung):
x^3 - 100 x^2 - 1000000 = 0
Hier hat man etwas unhandlich große Zahlen. Manchmal kommt man mit Substitution weiter. Probieren wir
y := 10 x
x = y / 10
y^3 / 1000 - 100 y^2 / 100 - 1000000 = 0
Dadurch würden die Zahlen noch unhandlicher - bringt also nichts.
Nächster Versuch mit y := x / 10: schon besser.
y := x / 100
x = y * 100:
1000000 y^3 - 100 * 10000 y^2 - 1000000 = 0
y^3 - y - 1 = 0
Das sieht schon besser aus.
Alle ganzzahligen Lösungen und sogar alle rationalen Lösungen von y sind Teiler von 1 (mit positivem oder negativem Vorzeichen). Da blieben nur +1 und -1 übrig - beide passen nicht.
Damit haben wir hier eine Gleichung 3. Grades mit irrationalen Nullstellen - so was löst man in der Schule normalerweise nicht "von Hand".
Bist du sicher, dass du richtig abgeschrieben hast?
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Bei der Zweiten kommt man mit Standardverfahren weiter, wenn es auch etwas unübersichtlich wird.
Man könnte hier z. B. substituieren: y := 300000000 x
Dann erhält man nach quadratischer Ergänzung:
(y - 2)^2 = -299999996
Zweites Beispiel: Normalform herstellen, dann pq-Formel.
Erstes Beispiel: Sicher, dass das hier die korrekte Darstellung ist?
Mit der Cardanischen Formel können Gleichungen dritten Grades allgemein gelöst werden.