Gegeben ist eine quadratische funktion mit f(x)= x^2 + px + q und den Nullstellen 1 und 4. Ermitteln sie die Werte fuer p und q. Wie macht man das?
Die Frage lautet: Gegeben ist eine quadratische funktion mit f(x)= x^2 + px + q und den Nullstellen x1 = 1 und x2= 4. Ermitteln sie die Werte fuer p und q. Wie macht man das? Wir duerfen keine Hilfsmittel verwenden. Ich dachte erstmal daran die Funktion in die Mitternachtsformel einzusetzen und dann die Werte p und q zu ersetzen mit ein bisschen rumraten, bin aber auf kein Ergebnis gekommen. Vielen Dank im Voraus!
6 Antworten
Die Funktion in ihrer faktorisierten Form schreiben, ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich machen:
Und schon kannst Du p = -5 und q=+4 ablesen
Probe mit der pq-Formel:
Alternative Methode: Satz von Vieta
Ganz genau so. Einfach ausmultiplizieren, fertig. Vieta kann man machen, aber dazu muss man den ja kennen und parat haben.
Vielen Dank, macht Sinn. Also eigentlich eine sehr einfache Aufgabe. LG
Gegeben sind die Nullstellen 1 und 4. Die Werten davon kannst Du mit dem Satz von Vieta ( Wurzelkoeffizientenbeziehungen ) nutzen, wobei eine, quadratische Gleichung mit dem ersten Wert von 0 lautet. Dabei sind -p = Summe der Nullstellen und q = Produkt der Nullstellen.
Davon ist die Summe der Nullstellen 5 und der Produkt ist 4. Deswegen ist die Gleichung
Oder Du kannst die Gleichung x^2 + px + q darauf nutzen und x = 1 und x = 4 dazu einsetzen. Davon bekommst Du zwei, lineare Gleichungen ( mit 0 am Ende ), nämlich :
p + q = -1
4p + q = -16.
Anhand dieser Gleichung sind die Ergebnisse p = -5 und q = 4.
Grundsätzlich kennst du ja die Nullstellen, d.h. wenn du für x den Wert 1 einsetzt, kommt 0 raus. Wenn du für x den Wert 4 einsetzt kommt auch 0 raus.
Damit hast du ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit zwei unbekannten, die du beliebig lösen kannst, also in einander einsetzen, durch-Gaußen, etc.
Ohne Vieta
(x-1)(x-4) ausmultiplizieren.
Endweder du benutzt den Satz von Vieta. (Eifnach mal auf wikipedia durchlesen.)
Oder du setzt einfach x1 und x2 jeweils ein. y ist ja immer null.
Dann haste 2 gleichungen mit 2 unbekannten (p und q)
Und das ist dasnn ein gleichungsystem das du lösen kannst wie jedes andere gleichungsystem.
z.b. eine gleichung nach p umstellen und in die andere einsetzen. q dann ausrechnen. Und q in der anderen gleichung einsetzen und p ausrechnen. Fertig.
Mit dem Satz von Vieta gehts aber einfacher und schneller.