Gegeben ist die funktion f mit y=(f)x= (x-2)²-5?
a)Ermittle den kleinsten funktionswert von f b)Gib den wertebereich von f an c)Welchen funktionswert nimmt f an der Stelle x= -1 an? d)Berechne die nullstellen e)um wie viele einheiten muss man die parable nach oben verschieben damit sie nur einen punkt mit der x achse gemeinsam hat?
7 Antworten
f(x) = (x - 2)² - 5
Das ist eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform.
a) Der kleinste Funktionswert ist der Scheitelpunkt der Parabel - dieser ist hier einfach abzulesen, da wir hier sowieso die Scheitelpunktform vorliegen haben.
Bei f(x) = (x - 2)² - 5 liegt der Scheitelpunkt bei (2 | -5), der kleinste Funktionswert ist somit -5.
b) Der Wertebereich von f sind die Zahlen, die für f(x) herauskommen können - das sind alle Zahlen über den Scheitelpunkt.
Also gilt W = [-5; ∞).
c) Für den Funktionswert an der Stelle x = -1 setzt du einfach -1 in die Funktionsgleichung ein, berechnest also f(-1).
d) Für die Nullstellen setzt du den Funktionsterm null, berechnest also f(x) = 0.
0 = (x - 2)² - 5 und dann Äquivalenzumformung.
e) Solange, bis der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt, du musst die Scheitelpunktform nur ein bisschen abändern.
LG Willibergi
A: Du musst herrausfinden für welches x der ausdruck (x-2)^2-5 am kleinsten ist und dieses x dann in die funktion einsetzen.
Für mdie Minima-Ermittlung brauchst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Da wo die erste Ableitung 0 ist hat die Hauptfunktion entweder ein minima oder ein Maxima. Wenn die 2. Ableitung an dieser Stelle größer als 0 ist ist es ein Minima und wenn sie kleiner als 0 ist ein Maxima.
Die Ableitungen lauten:
y'=2*x-4
y''=2
((x-2)^2-5 = x^2-4*x+4-5 ist der erste Ansatz zum Ableiten der Funktion)
y'=2*x-4 wird genau dann 0 wenn x=2 ist (4-4=0), also ist 2 eine Extremstelle (die einzige der Funktion)
y'' ist für x=2 2 (ist ja von x unabhängig), und somit positiv, weswegen x=2 ein Minima ist.
Setzen wir nun x=2 in die Funktion y=(x-2)^2-5 ein erhältst du y=(0)^2-5 = -5 was dein gesuchtes ergebnis ist.
(Mit scharfem Mathematischen Blick kann man auch erkennen dass das quadrat von iregendwas nie kleiner als 0 wird, weshalb der minimalwert logischerweise -5 sein muss)
Bei C einfach den Wert in die Gleichung einsetzen.
a) f(x) = (x-2)² - 5 ist eine nach oben geöffnete Normalparabel. Der kleinste Funktionswert (Tiefpunkt) ist der Scheitel, diesen kann man aus der in der Scheitelform gegebenen Gleichung direkt ablesen. S(2/-5)
Scheitelform f(x) = (x-d) + e => S(d/e)
Alternativ f'(x) bilden und Extremwert bestimmen (Tiefpunkt)
b) Der Wertebereich sind alle Funktionswerte (y-Werte), die die Funktion einnimmt. Weil der Scheitel den niedrigsten Wert nennt und die Funktion unendlich wächst, ist es das Intervall von -5 bis plus unendlich, incl. der -5
c) f(-1) bestimmen, also x=-1 in die Gleichung einsetzen.
f(-1) = (-1 -2)² -5 = 9 -5 = 4
d) y = 0 oder f(x) = 0 setzen
(x-2)² - 5 = 0 |+5
Alternativ statt +5 kann man auch die Klammer auflösen und pq- oder abc-Formel verwenden, führt auch zu den folgenden Ergebnissen.
(x-2)² = 5 | Wurzel
x-2 = +- Wurzel 5 |+2
x1/2 = 2 +- Wurzel 5
Nullstellen n1 = 2 - Wurzel 5 und n2 = 2 + Wurzel 5
Schnittpunkte mit der y-Achse wären P 2-Wurzel 5/ 0) und Q(2 + Wurzel 5/0)
e) Der Scheitel muss um 5 Einheiten nach oben verschoben werden, dann ist der Scheitel der einzige gemeinsame Punkt mit der x-Achse.
S neu (2/0) => f(x) = (x-2)²
f(x)=(x-2)^2-5
f(x)=x^2-4x-1
Kleinster Funktionswert:
f'(x)=2x-4
2x-4=0
x=2
f(2)=2^2-4*2-1=-5
f''(x)=2
2>0 => Bei x=2 liegt ein Minimum
Wertebereich:
y>=-5
Nullstellen:
Einfach mit der pq-Formel zu errechnen
Scheitelpunkt auf der x-Achse:
Da das Minimum bei -5 liegt, muss sie um 5 Einheiten nach oben verschoben werden.
danke für diese sehr hilfreiche antwort