Geburtstagsparadoxon mittels Stirlingformel und Taylorreihe?
Ich habe folgende Aufgabe bekommen:
Den gewöhnlichen Rechenwege versteh ich. Also:
p=1-(365/365)*(364/365)*...*(343/365)
Aber ich verstehe nicht, wie man das mit Stirling und der Taylorreihe zeigen kann.
1 Antwort
Man approximiert die Fakultäten in
p = 1 - 365! / (365-n)! / 365^n
mit der Stirling-Formel,
365! ~ Wurzel( 2 Pi 365 ) (365/e)^365
(365-n)! ~ Wurzel( 2 Pi (n-365) ) ((365-n)/e)^(365-n)
Zusammen
p ~ 1 - Wurzel( 365 / (n-365) ) 365^(365-n) / (365-n)^(365-n) e^(-n)
= 1 - (365/(365-n))^(365-n+1/2) e^(-n)
Nun ist n gesucht so dass
(365/(365-n))^(365-n+1/2) e^(-n) < 1/2,
man nimmt den Logarithmus
(365-n+1/2) log(365/(365-n)) - n < - log(2),
woraus man die Lösung n=23 erhält. Was man nun noch mit der Taylor-Entwicklung des Logarithmus soll, weiss ich nicht. Schreibt man
log(365/(365-n)) = - log((365-n)/365)= - log(1 - n/365) ~ n/365, so dass
(365-n+1/2) n/365 - n < - log(2) zu lösen ist, dann erhält man eine quadratische Gleichung. Leider kommt hier mit n = 13 nur eine grobe Näherung heraus.
Danke für diese ausführliche Erklärung. Das hilft schon Mal weiter ☺️