Geburtstagsparadoxon verstehen?
Wieso muss man, wenn man das Geburtstagspardoxon berechnen will, und den Komplementärereignis-Ansatz betrachtet, bei P(X) = 1 - 365/365 * 364/365 * 363/365… multiplizieren? Also mir is schon klar, dass addieren nicht funktioniert, aber irgendwie fühlt sich das auch nicht intuitiv an. Und bitte als Antwort nicht „Ja, das sind halt bedingte Wahrscheinlichkeiten.“. Bitte richtig erklären. Also von Grund auf.
2 Antworten
du hast also n Personen in einem Raum und willst die WK wissen, dass alle n paarweise verschiedene Geburtstage haben... da stellen wir uns einen Spielbaum vor.... bei der ersten Person kann noch nix schief gehen... also nur ein Zweig... folglich mit Einzel-WK 1=365/365.
bei der zweiten Person geht es mit der WK 1/365 schief und mit der WK 364/365 nicht...
und nach n Einzel-Entscheidungen multiplizieren wir die Einzel-WKs entlang des gewünschten Pfades...
Mal ein einfacheres Beispiel:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit drei Würfeln mindestens zwei gleiche Zahlen zu würfeln?
Wenn man versucht, die Wahrscheinlichkeiten für je zwei Würfel zu addieren, wird man den Fall, dass alle drei Würfel die gleich Zahl zeigen, mehrfach berücksichtigen und muss dessen Wahrscheinlichkeit wieder subtrahieren. Spätestens bei vier Würfeln hört dann der Spaß auf. Addition von Wahrscheinlichkeiten ist immer irgendwie doof, man rechnet sich einen Wolf und das Ergebnis stimmt trotzdem nicht 😉.
Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ist unproblematisch. Also fragen wir uns, wie groß denn die Wahrscheinlichkeit ist, drei verschiedene Zahlen zu würfeln.
Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Würfel ist 6/6, denn es wurde ja noch keine Zahl gewürfelt. Für den zweiten Würfel bleiben dann noch fünf Zahlen übrig, für den hat man dann 5/6. Für den dritten Würfel hat man 4/6.
Also mit 6/6 * 5/6 * 4/6 würfelt man drei verschiedene Zahlen.
Also sind mit 1 - 6/6 * 5/6 * 4/6 mindestens zwei gleiche Zahlen dabei.