Ganzrationale Funktionen durch 4 bestimmte Punkte?
Hallo Leute,
Ich habe ein Problem zum Thema Funktionen: Wir haben 4 Punkte
(-10I10)
(-7I0)
(-3I-1)
(0I0)
aus diesen müssen wir eine Gleichung basteln.
Der Graph den Wir gezeichnet haben, hat aber keinerlei Ähnlichkeit zu einer Ganzrationalen Funkton 3./4. Grades, die wir kennen. Deshalb fehlt uns eine allgemeine Funktionsgleichung mit der wir arbeiten, die Punkte einsetzen und mit einem Lösungssysthem arbeiten könnten.
Ich bedanke mich schonmal für jede idee <333
6 Antworten
allgemeiner ansatz
y = ax^3 + bx^2 + cx + d
vier punkte sind da , vier sind erforderlich
so gehts
10 = 1000a + 100b + 10c + d
0 = -343a + 49b - 7c + d
-1 = -27a + 9b -3c + d
0 = d
und führt zu
y = -5/2652 * x³ + 57/884 * x² + 721/1326 * x
(nein das d fehlt nicht )
Mit 4 Punkten kannst du nur eine g.r. Funktion
3. Grades "basteln", jedenfalls eindeutig.
Eure Skizze sieht doch ganz gut aus, sie könnte
punktsymmetrisch nan rechts weitergehen.
Ihr habt zwei Nullstellen, also müsstet
ihr nur noch
(x + 7) * (x + 0)
mit einem (x - x03) multiplizieren:
(x^2 + 7x) * (x - x03)
Nein, damit meine ich die dritte Nullstelle.
Stell dir das 03 als klein unten rechts vor ;-)
(Index)
Hallo,
am einfachsten machst Du es Dir, wenn Du den Vorschlag von Tannibi beherzigst und mit den beiden Nullstellen arbeitest, die gegeben sind, nämlich die bei x=0 und x=-7.
Vier Punkte bestimmen eindeutig eine Polynomfunktion dritten Grades.
In der Nullstellenform lautet sie f(x)=a*(x+b)*(x+c)*(x+d), wobei b, c und d die Gegenzahlen der Nullstellen sind, a dagegen ein Faktor, der den Funktionsgraphen enger oder weiter macht oder spiegelt.
Hier kannst Du für b eine Null setzen und für c eine 7:
f(x)=a*x*(x+7)*(x+c).
Nun kannst Du a und c bestimmen, indem Du die beiden Punkte einsetzt, die keine Nullstellen sind, nämlich P1 (-3|-1) und P2 (-10|10):
So kommst Du auf ein Gleichungssystem, das nur zwei Unbekannte hat:
a*(-3)*(-3+7)*(-3+c)=-1
a*(-10)*(-10+7)(-10+c)=10.
Ausmultipliziert kommst Du so auf
36a-12ac=-1
-300a+30ac=10
Teilst Du die zweite Gleichung durch -10, ergeben beide -1 und können gleichgesetzt werden:
36a-12ac=-1
30a-3ac=-1
Daher:
36a-12ac=30a-3ac
6a-9ac=0
3a*(2-3c)=0
Entweder muß gelten: a=0, was hier natürlich als Lösung ausscheidet,
oder 2-3c=0, was zu c=2/3 führt.
Dies eingesetzt in die Gleichung 36a-12ac=-1:
36a-8a=-1
28a=-1
a=-1/28.
Also:
f(x)=(-1/28)x*(x+7)*(x+2/3)
Ausmultipliziert ergibt es eine Funktionsgleichung dritten Grades in der gewohnten Form.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen vielen dank. Haben uns insgesamt schon drei mal verrechnet gehabt und jtz einfach mit deiner Rechnung gearbeitet. Danke <33
Allgemeine Gleichung einer Funktion 3. Grades:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Aus dem Punkt (0/0) kannst du gleich schließen, dass d=0 ist
Also bleibt:
f(x) = ax³ + bx² + cx
Jetzt die anderen 3 Punkte (-10/10), (-7/0), (-3/-1) einsetzen, dann hast du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten a, b und c ...
Mit 4 Punkten ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades genau und eindeutig bestimmt.
Sie hat dann dann die allgemeine Form:
y=Ax³+Bx²+Cx+D
Da kannste deine 4 Punktepaare einsetzen und kriegst damit ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten.
Das musst du lösen. Dann haste deine 4 Werte für A, B, C und D.
Ich glaube mein Problem ist, dass der unterste Punkt (-3I-1) nicht genau mittig zwischen den beiden anderen liegt. geht es dann trotzdem so? :O
Und meinst du mit xo3 jtz x hoch 3? *-*