Ganzrationale Funktionen - Nullstellen?
Von dieser Funktion f(x) =x^5+3x^4-13x^3-15x^2
Muss ich die Nullstellen ausrechnen.
Könnt ihr mir sagen, ob mein Ansatz richtug ist und wie ich weiter mache? Ich muss faktorisieren, aber ich versteh an dem Beispiel nicht wie.
4 Antworten
Da es keine ganzzahlige Nullstelle mehr gibt, führt die Faktorisierung ins Leere.
Da hilft dann nur noch eine graphische Lösung oder ein Näherungsverfahren.
Beid er graphischen Lösung gebe ich das Restpolynom in einen Funktionenplotter ein:
Da sehe ich, dass das Polynom nur eine reelle Nullstelle hat irgendwo zwischen -5 und -6....
...und erhöhe die Auflösung, um den Wert besser ablesen zu können:
Also haben wir zu der doppelten Nullstellle von x = 0 eine weitere Nullstelle bei
x = -5,727
x² ausklammern ist richtig.
Für die nächste Nullstelle hilft die Polynomdivision. Versuche es mit Teilern von 15, z.B. mit der 3.
Danach kannst Du mit der pq-Formel weitermachen.
Faktorisierung ohne Polynomdivision ist aber schwierig. Insbesondere wenn eine Funktion n--ten Grades weniger als n Nullstellen hat und man das beweisen will.
Warum ist das Faktorisieren hier so schwierig?
x³ + 3x² - 13x - 15 = 0
Du müsstest die Summanden wie folgt zerlegen:
x³ + x² - 3x² - 3x + 5x² + 5x - 15x - 15 = 0
Und nun ausklammern:
x * (x² + x - 3x - 3) + 5 * (x² + x - 3x - 3) = 0
(x + 5) * (x² + x - 3x - 3) = 0
Und noch einmal ausklammern:
(x + 5) * (x * (x - 3) + 1 * (x - 3)) = 0
(x + 5) * (x + 1) * (x - 3) = 0
Da die notwendige Zerlegung der Summanden zu Beginn nicht erkennbar ist, ist der Versuch auszuklammern hier nicht zu empfehlen.
Der Ansatz ist richtig. Ausklammern und Satz vom Nullprodukt. Doppelte Nullstelle bei x=0.
Die nächsten Nullstellen würde ich normalerweise über raten mit anschließender Polynomdivision ermittelten, das läuft hier aber ins Leere.
Kannst du mir helfen und erklären, wie ich weitermachen muss?
Es gibt eine reelle Nullstelle irgendwo zwischen -5 und -6 sowie zwei konjugiert komplexe Nullstellen.
Lösung geht dann beispielsweise mit den Cardanische Formeln oder mittels Sukzessiver Approximation. Ist aber beides eine Heidenarbeit. 😲
Die Formeln kenne ich auch nicht. Und ist auch nicht die Polynomdivision beigebracht worden. Dann muss ich wahrscheinlich PolyRoots im Taschenrechner verwenden
Ja, alles in den Rechner eingeben ist auch eine Möglichkeit. 😁
Es muss hinten heißen -15 und nicht +15.
Dann probiert man alle positiven und negativen Teiler der 15 aus:
-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5 und 15.
Und man findet wirklich noch drei Nullstellen.
Die Ponynomdividson können wir leider nicht. Unsere Lehrerin meinte, dass das bei uns abgeschafft wurde und wir das auch nicht können werden. Deswegen hatte ich nach dne faktorisieren gefragt. Kannst du mir da weiterhelfen?