f(x)=x*ln(x) für x=0 definiert?
Hallo,
durch eine Frage - die Integration obengenannter Funktion betreffend - bin ich auf folgendes Problem gestoßen. Mein Taschenrechner streikte, als er mir die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall [0;1] berechnen sollte. Nach einigem Überlegen war mir auch klar, warum er das tat. Die Stammfunktion zu f(x)=xln(x) ist F(x)=0,5x²(ln(x)-0,5). Wenn man für x eine Null einsetzt, sollte das Ganze eigentlich auch Null werden, weil der Faktor x² Null wird und somit auch das gesamte Produkt. Der andere Faktor aber ist ln(x)-0,5. Wenn hier für x eine Null eingesetzt wird, ist die Geschichte nicht definiert, denn es gibt keinen natürlichen Logarithmus von Null. Deswegen streikt auch der Rechner. Was stimmt nun: Ist das Produkt Null, weil x²=0 oder ist es nicht definiert, weil ln(x) nicht definiert ist? Ebenso könnte man auch fragen, ob x*1/x für x=0 wirklich Null ist oder nicht. Schließlich kann man x und 1/x kürzen, so daß das Ergebnis für jedes x 1 sein müßte. Da aber nicht durch Null gekürzt werden darf, hätte man bei x=0 ein Loch. Läge hier eine Polstelle vor oder müßte man an dieser Stelle mit dem Argument vom Nullprodukt als Funktionswert eine Null eintragen?
Herzliche Grüße,
Willy
5 Antworten
In diesem Fall handelt es sich glaub ich um eine stetig behebbare Definitionslücke, beim Wert null siegt die Definitionslücke gegen die Multiplikation mit null.
Korrektur: Eine stetig behebbare Lücke kanns nicht sein, negative Werte sind ja auch nicht zugelassen. Es handelt sich hier wirklich um sie Definitionsgrenze der man sich gegen null asymptotisch annährt.
Ich vermute dass der Rechner einfach numerisch gearbeitet hat und sich deshalb dem Grenzwert einfach möglichst nahe angenährt hat wenn die Fläche gegen einen bestimmten Wert tendiert ihn aber nie ganz erreicht (so ähnlich als würdest du dich dem Wert des absoluten Temperaturnullpunktes annähern, weißt du was ich meine? Den Wert gibts nicht wirklich, man kann sich ihm halt numerisch annähern).
Da die Fläche unter einem Punkt 0 ist, kannst du theoretisch das offene Intervall (0;1] betrachten.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+0.5*x%C2%B2(ln(x)-0.5)+for+x+to+0%2B
Das wäre wohl der korrekte Weg. Aber es kommt auch nicht so oft vor, daß sich ein Matheprogramm und ein wissenschaftlicher Taschenrechner nicht einig sind.
Vielen Dank für die Antwort.
Herzliche Grüße,
Willy
Kommt zwar ein wenig spät, aber dennoch:
Du kannst x * ln(x) umschreiben zu
ln(x) * 1/x^(-1)
Nun machst du Bernulli L'Hospital
und die Grenzwertbetrachtung:
1/x * 1/(-2 * x^(-2))
Wenn du das sauber zurückführst:
x²/(-2x)
->
x/(-2)
lim x -> 0
0/(-2)
= 0
f(0) wäre dann nur über einen Grenzwert definierbar, da 0*(-∞) ein unbestimmter Ausdruck ist. Also:
lim_x→0( x* lnx) =
lim_x→0( lnx/ (1/x))
Jetzt L'Hospital:
lim_x→0( (1/x)/(-1/x²))
= lim_x→0( -x²/x)
= lim_x→0( -x) = 0
Bestätigt das der Graph?
Dem Graphen sieht man das leider nicht an. Der sieht genauso aus, als sei f(0)=0, was kein Wunder ist, weil sich der Grenzwert schließlich unendlich nah der Null annähert.
Aber das mit dem Grenzwert bestätigt meine Vermutung und die anderen Antworten.
Vielen Dank für die Antwort,
Willy
Unser aller Wolfram zieht auch durch, weist aber Teile als imaginär aus und bei Anwenden von where x = 0 einen Limes für die Gesamtfunktion.
Mein Plotter zeigt die Imaginärteile gar nicht erst und schreibt in einer Wertetabelle x = 0 nicht definiert. Sehen kann man die Lücke im Plot ja nicht.
So ist es. Ich war halt nur darüber gestolpert, weil der Taschenrechner eine Fehlermeldung ausgab. Als ich die Fläche per Hand berechnet hatte, hatte ich dem Nullprodukt entsprechend gerechnet. Vom Ergebnis her macht es keinen Unterschied - aber es lehrt mal wieder, daß es in der Mathematik nichts Selbstverständliches gibt.
Herzliche Grüße und vielen Dank,
Willy
Vielen Dank für die Antwort. Dann hätte mein Taschenrechner also recht. Mein Matheprogramm auf dem Rechner dagegen hat die Fläche klaglos berechnet, also für x=0 einfach Null gesetzt. Vielleicht wurde aber auch intern mit einem Grenzwert gerechnet.
Jedenfalls würde die Definitionslücke schwerer wiegen als das Nullprodukt, wenn ich Dich richtig verstanden habe.
Herzliche Grüße,
Willy