Funktion quadrieren für Rotationskörper?
Hallo an alle Mathe-Profis! Ich brauche (-1/250 X^4 + 1/5 X^2)^2. Die Lösung aus dem Lösungsheft ist -1/62500 X^8 - 1/625 X^6 + 1/25 X^4. Woher der mittlere Teil kommt ist klar - binomische Formel, aber ich kann mir nicht erklären, wie die Vorzeichen zustande kommen. Wäre cool, wenn mir da jmd auf die Sprünge helfen könnte, ich schreibe nächste Woche Abi :) Danke!
5 Antworten
Über den ganzen Teil mit Rotationskörpern kann ich nix sagen, da ich gerade selbst nicht kapiere um was es geht.
Zum Reinen Ausmultiplizieren/binomische Formel:
Ich mach mal die Substitutionen
A=1/5 x^2 und
B=1/250 x^4
Dann ist (-B+A)^2
=(A-B)^2=(A^2-2*A*B+B^2)
A^2 ist (1/5 x^2)^2=1/25 x^4
B^2 ist (1/250 x^4)^2=1/62500 x^8
A*B ist (1/5 x^2)*(1/250 x^4)
=(1/5*1/250)*(x^2*x^4)
=1/1250*x^6
Damit ist 2*A*B
=2/1250 x^6=1/625 x^6
Das Alles eingesetzt ergibt
A^2-2AB+B^2
=(1/25 x^4)-(1/625 x^6)+(1/62500 x^8)
Man kann das nach Umstellen damit die Exponenten absteigend dastehen.
Aber prinzipiell muss ich dir Recht geben, vor dem 1/62500 x^8 müsste ein + und kein - stehen!
Wohl ein Fehler im Lösungsheft
ich weiß, hab das irgendwann mal in der Schule gemacht.
müsste mich da mal wieder einlesen :-D
Tippfehler/Druckfehler - der Teil mit dem "x^8" muss ein positives Vorzeichen haben (minus mal minus = plus), die anderen Vorzeichen sind korrekt.
Toll, da kann ich ja lange rumgrübeln... Danke an alle!
Hallo,
in der Lösung steckt ein Vorzeichenfehler, wie Peter42 in seiner Antwort schrieb.
Die Vorzeichen kommen so zustande:
Du hast ein Binom der Form (-a+b)², das sich so auflösen läßt:
(-a)²+2*(-a)*b+b²=a²-2ab+b²
Auf dasselbe Ergebnis kommst Du, wenn Du die Summanden in der Klammer vertauschst und dann die gewohnte zweite binomische Formel erhältst:
(b-a)²=b²-2ab+a², wobei Du im Ergebnis ohne weiteres a² und b² vertauschen kannst zu a²-2ab+b².
Allgemein gilt beim Multiplizieren: Minus*Minus=Plus, Plus*Plus=Plus, Plus*Minus=Minus, Minus*Plus=Plus.
Herzliche Grüße,
Willy
a=-1/250*x^4 und b=1/5*x^2
(a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2
a^2=(-1/250*x^4= 1/62500*x^8 "minus" mal "Minus" ist plus +
2*a*b= 2*(-1/250 *x^4)*1/5*x²=-2/1250 * x^6 "minus" mal "Plus" ist minus
b^2=1/25*x^4
Die Vorzeichen ergeben auch garkeinen Sinn!
Es müsste ja rauskommen:
a²+2ab+b²=1/62500x^8 -1/625x^6+1/25x^4.
Das erste Minus stimmt also nicht! Vielleicht nur ein Druckfehler?
Ein Rotationskörper, der entsteht, wenn ein Teil des Graphen einer Funktion f(x) um die x-Achse rotiert, berechnet sich nach der Formel:
Pi*Int [f(x)]²dx, wobei in den Grenzen zwischen den Teilen des Graphen integriert wird, den man rotieren läßt.
Du schichtest einfach unendlich viele Kreisscheiben längs der x-Achse nebeneinander, die jeweils die Fläche Pi*[f(x)]² (entsprechend der Kreisflächenformel Pi*r²) besitzen und summierst sie mit Hilfe des Integrals. So bekommst Du das Volumen heraus.
Willy