Funktion differenzierbar?
Hi! Es wäre es ganz toll, wenn ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könnt.
Aufgabe:
Und ich soll noch die Ableitungen f^(k) für 1 <= k <n berechnen.
Bitte bitte Hilfe
Lieben Gruß
vielen Dank im Voraus
2 Antworten
Wir prüfen sofort die (n-1)te Differenzierung, diese ist logischerweise
jetzt prüfen wir die kritische Stelle bei 0 von beiden Richtungen
passt also an dieser Stelle. Per vollständiger Induktion kann man das jetzt für die (n-2) bis 1ste Ableitung beweisen, ergibt sich aber noch einfach aus der allgemeineren Darstellung
für m ungleich 0, da x hoch 0 keine Konvergenz gegen 0 mehr erzwingt. Bei x hoch m mit m > 0 wird eine Konvergenz gegen 0 offensichtlich wie bei x hoch 1 erzwungen.
Wir nehmen jetzt die n-te Ableitung. Diese ist logischerweise
Ja, sogar noch etwas zu lang. Man hätte gleich mit der Zusammenfassung n!/m! x hoch m anfangen können, dieses enthält für m ungleich 0 immer noch ein x mit Exponent größer 0, für m gleich 0, also bei der n-ten Ableitung haben wir x^0 und damit nur noch n!/m!, was nicht gegen 0 konvergiert, also nicht zu einer Funktion bei x = 0 führt, da es an dieser Stelle nicht stetig ist.
Zugegeben, für diesen Textabsatz hätte ich in der Klausur bös Abzüge bekommen, aber das obere hätte ich in einer Hausarbeit so abgegeben, in der Klausur formaler.
Habe es aber an einer Stelle erweitert, da war es doch zu dünn.
Und auf einem Übungszettel? Aber woher weiß man jetzt, dass es n-1 mal diffb ist, aber nicht n mal?
Bei der 1ten bis (n-1)ten Ableitung bleibt ein x im Term stehen, welches den Term gegen 0 führt, wenn man x gegen 0 führt.
Bei der n-ten Ableitung entfällt das x (da x hoch 0 = 1), also gibt es diesen Faktor nicht mehr, welcher den Term gegen 0 führt, wir haben dann nur noch n! und das wird eben nicht 0.
Ahhh danke, das hatten wir bisher noch nicht, danke !
Der Beweis ergibt sich daraus:
Die rechte Seite für x>0 (f(x)=x^n): Der Grenzwert für x->0 der n-te Ableitung ergibt n!*x^0 = n!
Die linke Seite für x<=0 (f(x)=0): Die n-te Ableitung ergibt 0
Die n-te Ableitung der Funktion ist also an diesem Punkt (übergang von x<=0 zu x>0) nicht stetig (Sprungstelle) und damit auch nicht differenzierbar.
Wenn du dir kurz überlegst, wie die n-te Ableitung der rechten Seite aussieht und sie dann mit der n-ten Ableitung der linken Seite vergleichst, bist du schneller damit fertig als es dauerte, diese Antwort zu schreiben.
Genauso 'funzt' das. Für mich die beste Antwort zur Frage !
Du überläßt dem Fragesteller (offensichtlich bewußt) die explizite Beweisführung (den dies ist nur 'mathematisches Handwerk').
Könnte ich die 'beste Anwort' vergeben, so würde ich Deine nominiereren.
MFG
automathias
Und das ist der komplette beweis?