Funktion 5.Grades aufstellen?
Ich übe jetzt in den Ferien für die E-Phase, weiß aber nicht wie man solche Aufgaben löst. Ich habe erst damit versucht: y=a(x+1)^2 (x-1)^2 (x-2)Gib einen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 5. Grades mit folgendenEigenschaften an:
- die einzigen Nullstellen der Funktion sind x=-1; x=1; x=2
- f(0)=4
- es gilt für x->-unendlich f(x)->unendlich und x->undendlich f(x)->-unendlich
Wie kann ich den Funktionsterm aufstellen? Danke schonmal :)
5 Antworten
Hallo,
die Funktion lautet f(x)=(x+1)*(x-1)²*(x-2)².
Begründung:
Da es nur drei von fünf möglichen Nullstellen gibt, müssen zwei von ihnen doppelte Nullstellen sein.
Da der Funktionsgraph von links unten nach rechts oben (mit ein paar Schleifen dazwischen) verläuft, müssen diese doppelten Nullstellen bei x=1 und x=2 liegen.
So kommst Du auf f(x)=a*(x+1)*(x-1)²*(x-2)²
Da f(0)=4, gilt: 4a=4, a=1
Herzliche Grüße,
Willy
Stimmt, ich habe die Minuszeichen nicht richtig erkennen können.
Dann müssen die doppelten Nullstellen bei -1 und 2 liegen und vor die Terme gehört ein Minuszeichen.
Du kannst folgende Informationen aus der Aufgabenstellung herauslesen:
- Nullstelle bei x = -1
- Nullstelle bei x = 1
- Nullstelle bei x = 2
- f(0) = 4
- Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten
Aus f(0) = 4 folgt, dass der Graph bei y = 4 die y-Achse schneidet.
Jetzt kommt der Knackpunkt: Der Graph kommt von links oben (Grenzwert von x gegen -∞ ist ∞) und geht nach rechts unten (Grenzwert von x gegen ∞ ist -∞).
Da er aber bei y = 4 die y-Achse schneidet, muss die Nullstelle bei x = -1 doppelt sein, da sonst der Graph bis zur nächsten Nullstelle nicht bei hoch bis zu y = 4 kommt, wo er die y-Achse schneidet.
Ein Glied des Funktionsterms ist somit (x + 1)².
Weiter: Der Graph verläuft nach rechts unten. Dazu muss er eine weitere doppelte Nullstelle bei x = 1 oder x = 2 haben. Beides ist möglich.
Mögliche Funktionsterme sind also:
- f(x) = a(x + 1)²(x - 1)²(x - 2)
- f(x) = a(x + 1)²(x - 1)(x - 2)²
Mit f(0) = 4 können wir nun noch den Öffnungsfaktor a bestimmen - wenn wir in einsetzen, kommen wir auf folgende Funktionsterme:
- f(x) = -2(x + 1)²(x - 1)²(x - 2)
- f(x) = -(x + 1)²(x - 1)(x - 2)²
Möglich ist auch eine dreifache Nullstelle - eine von den dreien. Die Rechnung funktioniert analog, eine dreifache Nullstelle schneidet die x-Achse (und berührt sich nicht nur).
LG Willibergi
Ich habe jetzt die Gleichung ausgeklammert, um in einen Graphenzeichner im Internet eingeben zu können, aber der Graph schneidet die Y-Achse bei -8. Bei der ausmultiplizierten Gleichung steht auch -8, aber wenn ich stattdessen 4 schreibe, stimmen nicht mal die Nullstellen. Was mache ich falsch?
Die Funktion fünften Grades lautet in der Form:
f(x)= ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Du setzt für x die Werte ein, die Null ergeben müssen, durch Rumbrobieren kriegt man sowas raus.
Anatolij32 kennt offenbar noch nicht die Darstellung einer Funktion in Linearfaktorzerlegung.
Er will womöglich Nullstellen berechnen und kennt es so, dass man eine Nullstelle erraten muss und den Rest dann über Polynomdivision erhält.
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Mit der polynomialen Funktionsdarstellung kann es bei anderen Aufgaben gut funktionieren, die Funktionsgleichung herauszufinden, indem ein lineares Gleichungssystem mit den sechs Unbekannten a, b, c, d, e und f gelöst wird.
In diesem Fall ist es natürlich nicht so angebracht.
Dein Ansatz ist gut.
Die y-Achse wird bei y=4 geschnitten. a muss noch bestimmt werden.
y = a(x+1)^2* (x-1)^2 *(x-2)
4 = a(0 +1)^2* (0-1)^2 *(0-2)
4 = a*(1*1*-2)
4 = -2a
a = -2
einsetzen, ...
Dann noch das Unendlichkeitsverhalten kontrollieren.
Doch, sie ist nötig, weil Du sonst nicht wissen kannst, wo die doppelten Nullstellen liegen.
Da sie aus dem negativen Unendlichen kommt und ins positive Unendliche geht, können die doppelten Nullstellen unmöglich bei x=-1 und x=1 liegen, weil dann die y-Achse nicht bei y=4 geschnitten werden könnte.
Doppelte Nullstellen sind nur bei x=1 und x=2 möglich.
Dort liegen auch zwei Minima der Funktion.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Aufgabe ist bestimmt mit Absicht so konzipiert worden, dass man sich ohne diese Vorüberlegung zunächst auf den Holzweg begibt.
Und dann merkt der Schüler in der Klassenarbeit, wenn er die Aufgabe so durchgerechnet hat, dass er alles nochmal von vorne mit den anderen Nullstellen als doppelte Nullstellen rechnen kann. ^^. 0 Punkte. Zonk.
Und dann merkt der Schüler in der Klassenarbeit, wenn er die Aufgabe so durchgerechnet hat, dass er alles nochmal von vorne mit den anderen Nullstellen als doppelte Nullstellen rechnen kann. ^^. 0 Punkte. Zonk.
Wenn nur aufgrund einer falschen Lösung keine Punkte vergeben würden dürfte wohl praktisch kein Schüler die Versetzung schaffen...
Es ist nicht nur das Ergebnis falsch, sondern auch der Weg, denn der Ansatz ist falsch.
Ich kenne den Bewertungsspielraum der Mathelehrer nicht, aber wäre ich Mathelehrer und hätte ich den Spielraum, würde ich da Milde walten lassen. ;)
Es gab schon andere Aufgaben hier, da wurde nach A gefragt, aber B (korrekt) ausgerechnet und der Lehrer hat 0 Punkte gegeben. Oder Vorteile sollten aufgezeigt werden und es wurden Nachteile aufgezeigt, usw.
Er verläuft von links oben nach rechts unten!
Daher hätte ich unter anderem folgende Funktionsgleichungen anzubieten:
http://fs5.directupload.net/images/170718/thaxiepb.jpg
Das sind nicht die einzigen Lösungen - eine Nullstelle könnte auch dreifach sein. Hoffe ich bin jetzt nicht ganz bescheuert...