Für was braucht es Sequenzen?

Hi meine Frage mag für den einen oder anderen etwas plumb klingen aber ich Frage mich warum man Sequenzen in der Mathematik Bracht. Wir haben uns z.b gerade die Sequenz An = (-1/2)^n angeschaut und ihre Konvergenz berechnet. Warum kann man diesen Ausdruck nicht einfach mit f(x) = (-1/2)^x definieren so wie ich es kenne😅. Mathematisch ist das doch das gleiche und man konnte mit dieser Funktion genauso rechnen, oder nicht?

Answer 1

[tunik123]

Im Prinzip ja. Eine Folge (Sequenz) ist eine Funktion, die als Definitionsbereich nur die natürlichen Zahlen hat. Meistens kann man den Definitionsbereich auf positive reelle Zahlen erweitern, wie in diesem Beispiel.

Manchmal geht das auch nicht, z.B. wenn A(n) die n-te Primzahl sein soll.

Answer 2

[RitterToby08]

Es kann auch gut möglich sein, dass du in der Schule nie erfahren wirst, weshalb Folgen/ Sequenzen benötigt werden. Mathematisch ist die von dir gegebene Folge übrigens nicht das Gleiche wie deine Funktion f.

Ein wichtige Anwendung für Folgen ist der Begriff der "Stetigkeit" von Funktionen. Das bedeutet vereinfacht, dass der Graph der Funktion in einem Handstrich gezeichnet werden kann. Mathematisch sieht es wie folgt aus:

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ stetig\ in\ a\in\mathbb{R},\ falls:$ $für\ jede\ \text{Folge}\ A_{n\ }in\ \mathbb{R}\ mit\ A_n\ konvergiert\ gegen\ a\ gilt,\ dass\ auch$ $f\left(A_n\right)\ gegen\ f\left(a\right)\ konvergiert.$ Das ist jetzt erstmal etwas abstrakt. Daher ein Beispiel:

$f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ mit\ f\left(x\right)=x$ Diese Funktion kann mit einem (sehr sehr langen ^^) Strich gezeichnet werden und sollte daher stetig sein und das ist sie auch. Zum Beispiel:

$A_n\ :=3+\frac{1}{n}\ konvergiert\ gegen\ 3\ und$

$f\left(A_n\right)=3+\frac{1}{n}\ konvergiert\ ebenfalls\ gegen\ 3\ und\ damit\ gegen\ f\left(3\right)=3.$

Und für jede beliebige konvergente Folge kann genauso vorgegangen worden.

Ich weiß, dass das Ganze etwas kompliziert ist, aber es ist eine wichtige Anwendung für Folgen. :D

Comments

[RitterToby08]

Beim 2. Betrachten der Frage sehe ich zudem, dass f(x)= (-1/2)^x nicht definiert ist. Zumindest falls x eine beliebige reelle Zahl sein darf.