Frage zu: Parallelogramm - Teilwinkel anhand des Sinussatzes herausfinden
Hallo alle zusammen! :) Ich habe bei einem Parallelogramm alle vier ganzen Winkel und die vier aüßeren Geraden.Nun fehlen mir nurnoch die beiden sich in der Mitte des Parallelogramms kreuzenden Geraden...Doch um diese berechnen zu können, brauche ich doch die einzelnen Teilwinkel. Meine Frage lautet: Wie kann ich mit den gegebenen Winkeln und Strecken die Teilwinkel ausrechnen? Ich hoffe auf schnelle Antwort und bedanke mich schon einmal im Voraus!! MVG ojehojeh97
2 Antworten
A. Mich würde schon interessieren, ob meine zahlreichen Mutmaßungen überhaupt stimmten.
B. Wie mir jetzt erst auffällt, geht es natürlich auch (viel einfacher!) mit Sinussatz:
sin(alpha_B) / sin(beta ) = b / e
C. Wenn du aus der Formel in B. die Seite e isolierst, ebenso für die Formel aus meinem vorhergehender Antwort (unter C.) und gleichsetzt, bekommst du tatsächlich eine Formel für alpha_B, die nicht von e abhängt, nämlich
cot(alpha_ B) = a / (b * sin(beta)) - 1, (cot = Cotangens)
wie ich eben aus dem Ärmel zog (müsstest du noch einmal in Ruhe nachrechnen).
D. So ganz ist mir aber noch nicht klar, was du denn nun am Ende beabsichtigtest. -?
psychironiker
Ich habe die Aufgabe bereits anhand des Kosinussatztes gelöst und habe erst vor kurzem bemerkt,dass ich wohl blind gewesen sein musste.Ich hätte gleich erkennen müssen, dass sie sich einfach mit dem Sinus- und Kosinussatz lösen lässt.Die Rechnung brauchte ich für eine Aufgabe, die dringend zu lösen war
A. Mutmaßungen:
Ein Parallelogramm wird von vier Strecken begrenzt (die du wahrscheinlich meinst, wenn du von "äußeren Geraden" schreibst). Die "ganzen Winkel" werden wohl die Innenwinkel des Parallelogramms sein. In der Mitte des Parallelogramms kreuzen unendlich viele Gerade einander... du wirst wohl die Diagonalen meinen, die auch ganz zufällig Strecken sind, und keine Gerade. Die "Teilwinkel" könnten dann die an einer Diagonale anliegenden Innenwinkel je eines Dreiecks sein, in das die Diagonale das Parallelogramm teilt.
Wenn eine dieser Mutmaßungen nicht stimmt, lohnt es nicht weiterzulesen, und meine Mühe war vergeblich. Den Zeitaufwand hatte ich auch jeden Fall. So viel zu Nutz und Frommen einer genauen Formulierung von Fragestellungen...
B. Um die Diagonalen e, f auszurechnen, brauchst du die Innenwinkel der Dreiecke nicht, siehe Wikipedia "Parallelogramm", Abschnitt "Formelsammlung".
C. Wenn dich die Innenwinkel der Dreiecke trotzdem interessieren:
Bezeichnungen wie bei Wikipedia, "Parallelogramm". Die gesuchten Winkel seien z.B. alpha_ B und alpha_ D mit alpha_ B + alpha_ D = alpha, wobei alpha_ B (bzw. alpha_ D) zum Dreieck ABC (bzw. ACD) gehört. Die gefundene Formel funktioniert mit entsprechender Umbenennung für alle andere gesuchten Winkel analog.
Ein kartesisches Koordinantensystem habe seinen Ursprung in A. Der Vektor AB hat die Koordinaten
(a, 0)
(normalerweise als Spalte geschrieben, geht hier nicht). Der Vektor BC hat mit
cos (pi - beta) = -cos(beta) und sin (pi -beta) = sin(beta)
die Koordinaten
(-b * cos(beta), b * sin(beta) ).
Es ist ist AC = AB + BC, und mit Skalarprodukt:
AB * AC = a * e * cos(alpha_ B);
AB * (AB + BC) = a * e * cos(alpha_ B);
a² - a * b * cos(beta) = a * e * cos(alpha_ B);
(a - b * cos(beta)) / e = cos(alpha_ B);
entsprechend für alle anderen gesuchten Winkel.
psychironker
Und was für eine umfangreiche Antwort... :) Vielen Danke für die hilfreiche Antwort und für die Mühe, die in ihr steckt!!! MVG ojehojeh97