Frage zu Exponentialfunktions-Aufgabe (Ölförderung)?
Ein Erdölproduzent besitzt eine Ölquelle, die langsam versiegt. Die Fördergeschwindigkeit lässt sich durch die Funktion m´(t)=1+10e^-0,01t beschreiben (t: Tage, m´(t): Tonnen/Tag). Gesucht ist die Funktion m(t), welche die Ölmenge beschreibt, die bis zum Zeitpunkt t gefördert wird, beginnend zur Zeit t=0.
a) Bestimmen Sie m(t) als Stammfunktion von m´(t) mit m(0)=0.
b) Die Ölquelle wird stillgelegt, wenn die Fördergeschwindigkeit auf 3 Tonnen/Tag absinkt. Wann ist dies der Fall? Wie viel Öl wird bis zu diesem Zeitpunkt gefördert?
Meine Rechnung:
a)
Integral (m´(t)) = t-1000(0,99005)^t
m(t)= t-1000(0,99005)^t
m(0)= -1000
b)
m´(t)= 1+10e^-0,01t
3= 1+10e^-0,01t
t= 160,944 --> rund 161 Tage
m(161)= -38,888
Frage: Wieso bekomme ich teilweise negative Werte raus? Und stimmt die Rechnung überhaupt?
1 Antwort
Deine Stammfunktion ist verkehrt (und wo ist denn das e geblieben?)!
Die e-Funktion abgeleitet ergibt die e-Funktion mal innerer Ableitung; beim Integrieren bleibt sie auch erhalten, aber es wird durch die innere Ableitung geteilt, also:
m(t)=t+10 * e^(-0,01t):(-0,01) = t-1000e^(-0,01t)+C
nun muss noch m(0)=0 ergeben, d. h. m(0)=0-1000e^0+C=0 => C=1000
also: m(t)=t-1000e^(-0,01t)+1000
ah ok, kapiert; Dein Rechner hat aus e^(-0,01t) [e^(-0,01)]^t gemacht, und e^(-0,01) ist gerundet 0,99005. Finde ich etwas unglücklich; würde die e-Potenz beibehalten.
Du hast hier nur das "+C" nicht berücksichtigt, da es ja nicht nur eine Stammfunktion gibt; nur wird der Taschenrechner diese Konstante nicht anzeigen. Da aber m(0)=0 vorgegeben ist (aus genau diesem Grund) musst Du das C noch ausrechnen, damit die gesuchte Stammfunktion passt.
Das machen viele CAS: die wandeln e^(-0,01) in 0,99005 um. Insofern müsste die Stammfunktion stimmen (habe ich nicht alles gelesen)
Ich habe die m´(t)-Funktion mit dem Rechner (CAS) aufgeleitet. Dabei kam halt t-1000*(0,99005)^t raus. XD