Frage zu Differenzialrechnung?
Hallo!
Kurze Frage zur Differentialrechnung bezüglich der Geometrie/Tangente:
An sich habe ich den Berechnungsvorgang der Tangente bzw. der Steigung einer Funktion verstanden, aber eine Frage quält mich etwas.
Und zwar frage ich mich, an welcher Stelle wird die Tangente einer Funktion beim Differenzieren berechnet?
An sich wurde mir beigebracht, dass der Limes des Differenzenquotienten zweier Punkte auf der Funktion berechnet wird. Dabei hat der Professor die Punkte P1=(x0|f(x0)) und P2=(x0+dx|f(x0+dx)) genommen und deren Sekante durch Annäherung von P2 and P1 zur Tangente von P1 umdefiniert.
Was ich nicht verstanden habe ist, wie diese 2 Punkte zu Stande kommen.
Denn betrachte ich eine Funktion in einem karthesischen Koordinatensystem, dann sehe ich, dass die Steigung meiner Tangente davon abhängt, an welchem Punkt ich sie berechne. So wäre bei der Funktion f(x)=x^2 die Tangente an seinen Minimum ja eine Konstante. Leicht rechts davon hätte ich eine geringe Steigung, und je weiter rechts mein Punkt für die Tangente liegt, umso höher ist meine Steigung.
Also wie komme ich auf meinen Punkt (x0|f(x0)) an dem ich die Tangente berechne, sodass ich die gleiche Steigung erhalte, als wie wenn ich rechnerisch Ableite: (x^2)'=2x?
Vielen Dank im Voraus für die Antworten.
LG Fiiiiisch
2 Antworten
Sie werden zu Anfang beliebig gewählt, was besonders einfach ist, weil sie ja nur "als Buchstabe" und nicht als Wert angenommen werden. Deshalb gilt die Berechnung allgemein für alle Punkte der Ausgangsfunktion und in der Ableitung hast du ein 'x', das dir zeigt, dass die Steigung nicht konstant über (die Variation von) x ist.
Das funktioniert (nur) deshalb, weil die Funktion nicht nur abschnittsweise differenzierbar ist.
Nicht ganz. Es gibt eine Handvoll Regeln zum differenzieren. die lernst du auswendig und wendest sie absolut stumpfsinnig an. Dann bekommst du die Ableitung und wenn du die Steigung der Originalfunktion in einem bestimmten Punkt brauchst, dann setzt du diesen in die Ableitung ein.
f'(F(n*x)) = n * f'(F(x))
f'(U(x)+V(x)) = u'(x) + v'(x) Additionsregel
f'(U(x)*V(x)) = u'(x) * V(x) + v'(x) * U(x) Multiplikationsregel
(mit x = -x kannst du die Divisionsregel die viel komplizierter ist umgehen
f'(U(V(x))) = v'(x) * u'(x) Kettenregel
und die drei wichtigsten Basics
f'(e^x) = e^x
f'(x^n) = n * x^(n-1) wobei n positiv und negativ sein darf
f'(ln(x) = 1/x
Auf dem Koordinaten-System ist x die horizontale Achse. Die andere Achse lässt sich ganz einfach bestimmen, in dem man f(x) bildet.
Du brauchst ein Bild:
Dasselbe gilt für x+dx
Puh. Danke für die rasche Antwort. Werde mir da ein konkretes Beispiel nochmal dazu anschauen, aber gut zu wissen, dass die Wahl der Punkte vorerst nur willkürlich ausfällt.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, bedeutet das, dass ich zuerst die gesamte Ableitung mit Variablen-Symbolen "durchrechnen" muss, bevor ich dann am Ende die Werte für die Steigung ermitteln kann. Da bin ich ja mal gespannt.
Danke für die Info. LG Fisch