Frage bzgl. einer Notation für die Surjektivität der Ableitung?
Hallo,
ich habe eine Frage zu der Notation im folgenden:
Hier wird ja gesagt, dass df|_a surjektiv sein soll. So wie ich das verstehe heißt das also: f(x) soll in dem Punkt a surjektiv sein oder anders: f:{a}-> R^m, x->f(x), aber wenn die Bildmenge (wie in dem Foto) R^m ist, dann kann doch gar nicht jeder Punkt in jener Menge erreicht werden, da es eben nur ein Element in dem Bild gibt?
Oder ist damit eher gemeint, dass die Ableitung von f (also df) als ganzes surjektiv sein soll? Allerdings verstehe ich dann die Einschränkung nicht ganz...
Vielen Dank im Voraus"
1 Antwort
Beachte dass das Differential einer Abbildung von R^n -> R^m an der Stelle a eine nxm Matrix A ist (die A_ij sind die partiellen Ableitung der i-ten Kompnentenfunktion an der Koordinate x_j; ausgewertet an x = a). Hat diese einen Rang von m, dann ist die Matrix surjektiv, d.h. jedes y € R^M hat ein x € R^n so das Ax = y.
Dankeschön, tatsächlich hatte ich diese Überlegung auch schon.
Allerdings, jetzt wo du das sagst, ergibt dass nicht nur für die Notation "df" Sinn, sondern auch für "df|_a", da wir die Ableitung in einem Punkt a als Abbildung von einem Pkt. x zu einer linearen Abbildung f'(x) definiert hatten...
Ich bin mir nebenbei nicht sicher dass das was ich geschrieben habe richtig ist. Tatsächlich schmökere ich zwar gerade mal wieder im Heuser II, aber da kommt der Begriff nicht vor. Ich habe das mit dem Differential nur aus der Erinnerung zusammen gestückelt.
Hier
https://en.wikipedia.org/wiki/Submersion_(mathematics)
wird das was ich geschrieben habe bestätigt. Das Zitat läßt sich aber wegen der mathematischen Formatierung nicht hier einfügen.
Polynome p sind also an jeder Stelle submersiv, weil p'(x) • x = y für alle y, x lösbar ist (bei sinnvollem Definitionsbereich) oder?