Richtungsableitung und Skalarprodukt?
Guten Abend,
es geht um die hell blau markierte Gleichung rechts im Bild.
Der Gradient von f in p = 0 (Nullvektor) hat doch in jeder Komponente den Grenzwert, wie er unten links (dunkel blau markiert) steht - das sind ja gerade die partiellen Ableitungen.
Wenn man nun mit das Skalarprodukt aus dem Gradienten und dem Vektor a bildet, erhält man aber immernoch null und nicht 1/(3*sqrt(3)).
Ich verstehe zwar, dass die Ableitung in Richtung a eigentlich 1/(3*sqrt(3)) ist, aber nicht, wieso diese Formel gilt.
Kann mir die jemand erklären - vielleicht verstehe ich ja auch nur die Notation falsch?
Ich habe mich verlesen. Dort steht ja, dass es eben nicht der Fall ist, dass die Gleichung stimmt.
Allerdings freue ich mich dennoch, wenn mir jemand eine Herleitung bzw. einen Beweis zu dieser Gleichung gibt.
1 Antwort
Sei
eine Kurve im R^n. Dann gilt:
Dabei verwenden wir zuerst die Kettenregel und anschließend, dass die Jacobi-Ableitung in diesem Fall dem transponierten Gradienten entspricht. Den letzten Term kann man unter der Symmetrie des Skalarprodukts zu dem von dir gesuchten Term umformen. Beachte, dass wir die (totale) Differenzierbarkeit von f voraussetzen.
Totale Differenzierbarkeit bedeutet das hier. Falls diese lineare Abbildung existiert, ist sie gleich der Jacobi-Matrix. Diese Definition ist daher äquivalent dazu, dass alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind.
Ja, das meinte ich.
Diese Definition ist daher äquivalent dazu, dass alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind.
Diese Aussage kenne ich auch als Differenzierbarkeitskriterium, bzw. wenn stetig durch beschränkt ersetzt, dann als Stetigkeitskriterium.
Muss es eigentlich nicht sein. Die Definition und obige Formel macht für auch für nicht normierte a Sinn. Das "Problem" bei nicht normierte a ist, dass die Richtungsableitung ja eigentlich von der Richtung abhängen sollte und nicht wie weit ich gehe. Daher ist es manchmal nicht schlecht Vektoren der Länge 1 vorauszusetzen.
Würden also nicht normierte a die Ableitung, wie man es sich vorstellt, verfälschen?
Weil mit nicht normierten a ist der Differenzialquotient (limes denke man sich)
( f(x + a h) – f(x) ) / h
dann die Analogie zum eindimensionalen Fall, oder?
Und man schreibt ja dafür immer a = 1. Aber würde sich der Grenzwert den ändern, wenn a nicht normiert wäre?
Weil so von der Anschauung müsste doch das gleiche rauskommen, da es nur um die Richtung geht und dem h "egal ist", ob a = 1 oder a = 5.
Das ist ja das Problem falls die Länge nicht 1 ist, dann enthält die Ableitung auch noch die Länge des Vektors. Als Beispiel: Die partiellen Ableitungen sind ja einfach Richtungsableitungen in Richtung der Einheitsvektoren. Für den Fall n=1 bedeutet das:
f'(x)=lim( f(x + h) – f(x) ) / h für h gegen 0
Da der einzige Einheitsvektor einfach die Zahl 1 ist. Falls wir nicht normieren, können wir aber auch
f'_a(x)=lim( f(x + a*h) – f(x) ) / h für h gegen 0
betrachten. Die Richtungsableitung in Richtung a. Für f(x)=x würde dann gelten:
f'(x)=1 und f'_a(x)=a
Die Länge des Richtungsvektor beeinflusst also das Endergebnis. Die tatsächliche Steigung ist 1 und nicht a. Daher wollen wir normieren.
Vielen Dank.
Bedeutet einfach, dass f differenzierbar ist, oder - wegen dem Wort "totale"? Also dass der Grenzwert im Sinne der Definition mit Folgen existiert.