Formel exponentielles Wachstum Population?
Hi, wir haben in Biologie einen Text bekommen, in dem genannt wird, dass bei einem exponentiellem Wachstum von Populationen dN/dt = r*N gilt (Veränderung der Individuenzahl/Zeitabschnitt = Wachstumsrate*Individuenzahl).
Wie soll ich diese Formel überhaupt anwenden?
Beispielsweise habe ich hier eine Aufgabe gegeben, in der die Population für 10 Generationen berechnet werden soll. In der ersten Generation gibt es 1000 Individuen und die Wachstumsrate beträgt 1.
Jetzt soll ich die Populationsgröße und den Zuwachs errechnen. Ich kann mit dieser "Formel", die eigentlich eine Gleichung ist, nichts anfangen.
2 Antworten
Diese Formel von dir ist der Zusammenhang zwischen den Größen. Das ist quasi der allererste Schritt den man immer machen muss wenn du eine Formel herleiten willst. Ab hier ist es "nur" noch Mathematik, also Umstellen und integrieren.
ich werde "int" als Integralzeichen verwenden.
dN/dt = r*N
int(1/N)dN= int (r)dt
ln(N) - ln(N0) = r*t
ln(N/N0) = r*t
N/N0 = e^(r*t)
N = N0*e^(r*t)
Das N0 ist drin Startwert, der durch das Integrieren kommt(ich hoffe du kannst damit was anfangen).
Für deine Aufgabe könntest du jetzt alles einsetzen um die Population nach t=1 oder t=2 auszurechnen.
N(t=1) = 1000*e^(1*1)
N(t=2) = 1000*e^(1*2)
Ich finde wenn man es verstanden hat ist es ziemlich easy. Die hätten euch auch die fertige Formel N=N0*e^(r*t) geben können, aber anscheinen wollten die dass ihr das herleitet 🤷🏼♂️.
War das verständlich?
Je nach Vorkenntnissen.
Wenn ihr noch nichts Näheres zu Wachstumsformeln durchgenommen habt, nimmst du statt dN/dt die Differenzen ΔN/Δt und berechnest 9mal die Anzahl der jeweils nächsten Generation. (Oder sind mit den "10 Generationen" die 10 Tochtergenerationen gemeint? Dann müsstest du 10 Berechnungen durchführen, von der zweiten bis zur elften Generation.)
Wenn ihr geometrische Reihen kennt, stellst du die Formel um nach
q = ΔN / N
und berechnest q^9 (bzw. q^10).
Wenn ihr Exponentialfunktionen kennt - die braucht man für "stetiges" Wachstum -,
N = N_0 * e^(r * t)
(Mathematiklehrer haben manchmal die - für Physiker nervige - Angewohnheit, statt der Eulerschen Zahl e eine Basis zu nehmen, um nur die Zeit im Exponenten stehen zu haben, also
N = N_0 * b^t
was aber erfordert, dass man t in einer - willkürlich gewählten - Einheit ausdrückt. Für den Physiker ein Igitt.)
Erstmal vielen vielen Dank! Ich wäre alleine nicht darauf gekommen, weil wir ausgerechnet heute in Mathe das Thema Integralrechnung erst angefangen haben... Danke nochmal!!!