Wie berechnet man "t" (Exponentielles Wachstum)?
Also es geht um das exponentielle Wachstum / den exponentiellen Verfall vom Unterrichtsfach Mathematik der Klasse 9 (Gymnasium & Realschule), ich kann so ziemlich alles berechnen, hab ich verstanden, nur bei t / Zeit berechnen habe ich Probleme, hoffe jemand kann es mir mit einer Formel oder in einer Vorgehensweise erläutern, muss für 'ne Nachprüfung, welche am Ferienende ist, büffeln. Danke schon mal für eure Hilfe :) LG Kevin.
4 Antworten
Im Hinterkopf muss man immer haben, dass der Logarithmus dasselbe ist wie ein Exponent, weil Mathematiker gern für dasselbe Ding verschiedene Namen haben wollen, wenn es an verschiedenen Stellen auftaucht.
logₐ b = n <=> aⁿ = b
n ist Logarithmus n ist Exponent
Das ist gleichzeitig die Formel, die man auswendig kennen muss, um das Logarithmieren erfolgreich anzuwenden.
http://dieter-online.de.tl/Logarithmus.htm
Da bei Wachstumsaufgaben das t im Exponenten erscheint, ist zur Ermittlung der Zeit der Logarithmus unabdingbar notwendig.
Exponentialfunktion f(x)=a^x oder f(x)=e^x
im Normalfall ergibt sich die Formel N(t)=No*a^t
N(t)/No=a^t logarithmiert ergibt ln(N(t)/No))=ln(a^t)=t*ln(a)
also t=ln(N(t)/No)/ln(a)
siehe Mathe-Formelbuch "Logarithmengesetz" log(a)=x*log(a)
Du kannst auch den Logarithmus zur Basi 10 verwenden log
ergibt t=log(N(t)/No))/log(a)
No ist der Anfangswert bei t=0 und N(t) ist der Wert bei t
N(t)=No*e^(b*t) ergibt N(t)/No=e^(b*t) logarithmiert
ln(N(t)/No)=ln(e^(b*x)=b*x*ln(e)=b*x*1=b*x ergibt
x=ln(N(t)/No)/b
Dein Beispiel sieht so aus
500 * q^n = 1095,56 mit q = 1,04 (Jahreszins)
Lösung :
q^n = 1095,56 / 500
ln ( q^n ) = ln ( 1095,56 / 500 )
n * ln ( q ) = ln ( 1095,56 / 500 )
n = ln ( 1095,56 / 500 ) / ln ( q )
n = ln ( 1095,56 / 500 ) / ln ( 1,04 )
n ~ 19,99
Je nach Zusammenhang gibt es sehr unterschiedliche Herangehensweisen. Ohne den Kontext zu kennen, ist es schwierig dir darauf eine hilfreiche Antwort zu geben.
Wie lautet denn deine Aufgabenstellung?
Okay, in dem Fall ist es wirklich nur plumpes umformen und nach t auflösen. Dafür wirst du ab einem bestimmten Punkt einen Logarithmus bilden müssen, um t zu erhalten.
Wenn du die übliche Zinseszinsformel verwendest, wird dir die folgende Seite jeden nötigen Schritt dafür gut erklären können:
http://www.mathebibel.de/zinseszinsformel
Viel Erfolg beim Büffeln! ;)
Um ehrlich zu sein blicke ich da noch nicht richtig durch, da Mathebibel K benutzt und n, ich denke ich brauch noch ein Stück, aber trotzdem danke! Werde es mir wahrscheinlich umändern müssen.
Bitteschön! ^^
Du hast auf der Website ja Beschreibungen, was die einzelnen Variablen für eine Bedeutung haben. Schreib dir am besten die Formel mit den Variablen, die ihr verwendet direkt darunter, dann siehst du die Parallelen auf einen Blick. Vielleicht hilft dir das, da schneller durchzublicken.
Daran, dass Variablen nicht immer x heißen müssen und dass jeder beliebige Buchstabe für eine Konstante stehen kann, musst du dich wohl noch gewöhnen !
"Namen sind Schall und Rauch" gilt auch in der Algebra. Man muss sich darauf einstellen, Lösungsmethoden unabhängig von den jeweils speziellen Bezeichnungsweisen anzuwenden.
Es geht nicht um eine bestimmte Aufgabenstellung, sollte es wissen wenn es drauf ankommt. Also; Tabelle als Beispiel, habe Anfangskapital (500€), Jahreszinssatz (4%) und das Endguthaben (1095,56€). Also wie komme ich nun an "t" ? (Lösung wäre 20 Jahre, also machst du keine Hausaufgaben für mich, muss es nur wissen ;D )