Extremwertproblemen?

Hallo, könnte mir jemand bei dieser Mathe Aufgabe helfen? Verstehe nicht wo und wie ich da ansetzen soll.

Answer 1

[Lenimx]

Zu Aufgabe a:

Hab das Rechteck mal ABPD genannt

P(x|-⅓x²+4); B(x|0); D(-x|-⅓x²+4)

u(x) = [2[y(P) - y(B)] + 2[x(P) - x(D)]] LE

u(x) = [2[-⅓x²+4 - 0] + 2[x - (-x)]] LE

Jetzt nurnoch zusammenfassen und durch quadratische Ergänzung herausfnden für welches x der Umfang maximal wird. Dann den entsprechenden Umfang ausrechnen.

Zu Aufgabe b:

Einfach statt dem Umfang den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x ermitteln.

Answer 2

[evtldocha]

Zur Erinnerung: Der Umfang eines Rechtecks mit Seitenlänge l und der Breite b ist

$U\ =2\cdot\left(l+b\right)$

Übersetzt in die Skizze:

Die Länge des grauen Rechtecks ist 2x
Der Breite des grauen Rechtecks entspricht in der Skizze der y-Wert des Punktes P(x|f(x))

Also (y = f(x) bezeichnet man manchmal auch als die Nebenbedingung und U(x;y) als Zielfunktion)

$U(x;y)=2\cdot(2x+y)\ =\ 2\cdot(2x+f\left(x)\right)$

Jetzt setzt Du die noch den Funktionsterm ein und bekommst eine Funktion, die nur noch von der Variablen "x" abhängt:

$U\left(x\right)=2\cdot\left(2x-\frac{1}{3}x^2+4\right)=-\frac{2}{3}x^2+4x+8$

Davon suchst Du nun das Maximum:

$U'\left(x\right)=-\frac{4}{3}x+4\ =\ 0\ \Leftrightarrow\ x\ =3$ $U''\left(3\right)=-\frac{4}{3}<0\ \ \to Maximum\ bei\ x=3\$ $U\left(3\right)\ =\ 14$

Skizze: