Extremwertaufgabe Zylinder minimieren?
Habe was raus, aber habe keine Lösungen zum vergleichen. "Die zylinderförmige Konservendose mit dem Volumen "V" soll aus Weißblech hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein. Bestimmen Sie den Durchmesser "d" und die höhe "h"." Ich habe es folgendermaßen gerechnet. Steht in den Kommentaren
2 Antworten
V = pi*r²*h
O = 2*pi*r*h+2*pi*r²
----> h nach r umstellen
h=V/(pi*r²)
----->
O= 2*pi*r*(V/(pi*r²))+2*pi*r²
Kürzen:
2*(V/r)+2*pi*r²
Jetzt nach "r" Ableiten
O'= 2*(-V/r²)+4*pi*r
2*(-V/r²)+4*pi*r = 0 | - 4*pi*r
-2*(V/r²) = - 4 pi*r | *r²
-2*V = - 4 pi*r³ | :(-) 4*pi
(2V/4*pi) = r³ | 3. Wurzel ziehen
3. Wurzel((2V/4*pi)) = r
wird in der 2. Ableitung definitiv positiv (habe ich hier nicht aufgeschrieben)
d = 2 *und 3. Wurzel((2V/4*pi))
h = V/(pi*(3. Wurzel((2V/4*pi)))²
*V = pi*r²*h O = 2*pi*r*h+2*pi*r² ----> h nach r umstellen h=V/(pi*r²) -----> O= 2*pi*r*(V/(pi*r²))+2*pi*r² Kürzen: 2*(V/r)+2*pi*r² Jetzt nach "r" Ableiten O'= 2*(-V/r²)+4*pi*r 2*(-V/r²)+4*pi*r = 0 | - 4*pi*r -2*(V/r²) = - 4 pi*r | *r² -2*V = - 4 pi*r³ | :(-) 4*pi (2V/4*pi) = r³ | 3. Wurzel ziehen 3. Wurzel((2V/4*pi)) = r wird in der 2. Ableitung definitiv positiv (habe ich hier nicht aufgeschrieben) d = 2 *und 3. Wurzel((2V/4*pi)) h = V/(pi*(3. Wurzel((2V/4*pi))²)
Letzen Kommentar ignorieren. * h = V/(pi*(3. Wurzel((2V/4*pi))²)
Es geht ja nur um das Verhältnis zwischen d (Durchmesser) und h (Höhe).
Sag doch enfach mal V = 400*∏ cm³.
Dann kannst Du auch konkret rechnen.
Es ergibt daß der Materialverbrauch minimal ist, wenn d = h ist.
Also der Achsenschnitt des Zylinders ein Quadrat wäre.
Die Oberflächenformel liefert die "Hauptgleichung".
1. O=Ag +Ad + Am=d^2*pi/4 +d^2*pi/4 + d*pi *h=1/2 * d^2 * pi+d*pi *h
2. V=Ag*h=d^2*pi/4 * h ergibt h=V*4/(pi *d^2) in 1.
1. O=1/2 *d^2 * pi +d*pi * V*4/(d^2*pi)= " +V*4/d abgeleitet
O=0= d*pi - V*4/d^2 multipliziert mit d^2
O´(d)=0=d^3 *pi - V*4 ergibt Nullstelle bei d= 3.te Wurzel(V*4/pi)
TIPP : Rechne die Aufgabe mit Werten durch . V= 10 Liter. Dann kannst du durch Proberechnungen überprüfen,ob die Rechnung stimmt.