Extremalprobleme Trapez - Hauptbedingug und Nebenbedingung?
Hallo, wie soll ich die Aufgabe lösen? Könnte bitte jemand Schritt für Schritt erklären? 🙏🙏🙏
3 Antworten
A_Trapez = (1 / 2) * (g₁ + g₂) * h
hier:
a = x_D = x_C
g₁ = y_B = 2,5
g₂ = y_C = (-0,1) * (a + 1)² + 5
h = 4 + │x_D│ = 4 + │a│ = 4 - a für a < 0
Extremalbedingung:
A(a) = (1 / 2) * (2,5 + (-0,1) * (a + 1)² + 5) * (4 - a) → Maximum
Ableitungen:
A'(a) = 0,15 * a² - 0,2 * a - 4,1
A''(a) = 0,3 * a - 0,2
Notwendige Bedingung für Extrema:
0 = 0,15 * a² - 0,2 * a - 4,1
a₁ = -4,6038
a₂ = 5,9371 (ist > 4 und entfällt)
Hinreichende Bedingung für Extrema:
A''(-4,6038) = 0,15 * (-4,6038) - 0,2 (< 0, daher Maximum)
a = -4,6038
1) Allgemeine Formel für die Fläche dfes Trapezes aufstellen:
A = 0,5(10 + 4*f(a) - 2,5a - a*f(a))
2) Ermitteln der Zielfunktion:
aus f(a) = -0,1a^2 - 0,2a + 4,8 folgt:
A(a) = 0,1a^3 - 0,2a^2 - 8,1a + 29,2
3) Maximum ermitteln:
f'(a) = 0,3a^2 - 0,4a - 8,1 = 0
Mitternachtsformel:
x1 = 5,9 (logisch, das ist das Minimum mit A = 0)
x2 = -4,57 (sieht plausibel aus.
Aber bitte nachrechnen, dazu bin ich selber zu faul.
Okay habe ich gecheckt👍 Sehr hilfreich!!! Vielen dank!!!!
f(x)=-0,1(x+1)^2+5
f(4)=2,5
f(a)=-0,1(a+1)^2+5
Die Trapezfläche sei A(a). Diese ist gemäß Formel
1/2×(f(4)+f(a))×h
h=4-a
Dies ergibt
A(a)=1/2(2,5+(5-0,1(a+1)^2)(4-a)
A(a)=0,05a^3-0,1a^2-4,100000000000001a+14,8
Um das Maximum für a zu bestimmen, differenzieren wir A*a) und erhalten
A'(a)=0,15a^2-0,2a-4,100000000000001
Die Extremwerte erhalten wir mit
A'(a)=0
Dies ergibt zwei Lösungen, wovon für die maximale Trapezfläche nur
a=(2-5sqrt(10)-2)/3~4,604
in Frage kommt.
Dies ergibt die maximale Trapezfläche 26,677.
Korrektur wegen fehlendem Minuszeichen: a~-4,604,