Extremalproblem... *Tot umfall*
Nachdem ich nun ganze 10 Minuten vor der Aufgabe gesessen habe und noch nicht mal weiß, welche Gleichung die Hauptbedingung ist, hier einmal die Aufgabe:
Eine Firma stellt oben offene Regentonnen für Hobbygärtner her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximales Volumen besitzen.
Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn 2m² pro Regentonne zur Verfügung stehen?
Zusammengefasst soll ich also die Abmessungen für ein maximales Volumen für einen Zylinder errechnen, der nur eine Grundseite hat.
Folglich kann ich dazu die Gleichung des Volumens benutzen; in diesem Fall wäre die pi * r² * h
Die Formel für die Oberfläche des Zylinders wäre dann 2pi * r * h+ pi * r²
Nun habe ich allerdings keine Ahnung wie es weitergeht. Ich denke, ich müsste die beiden Gleichungen gleichsetzen, allerdings habe ich dann immer zwei Variablen und kann so keine Formel für die Ableitungen bilden. Bitte helft mir >.<
3 Antworten
Gleichung 2pi r h + pi r² = 2 → h=(2 - pi r²) / (2 pi r) → h=1/( pi r) - 1/2 r
einsetzen für h in V ► V = pi r² • (1/(pi r) - 1/2 r) ► V = r - 1/2 pi r³
V ableiten → V ' = 1 - 3/2 pi r² =0 → 3/2 pi r² = 1 → r² = 2/(3 pi) und wurzeln; usw
Ich würde die Formel für die Oberfläche nach h auflösen und das h der Formel für das Volumen durch die rechte Seite der eben aufgelösten Formel ersetzen. Dann mußt Du die Volumenformel nach r ableiten und diese Ableitung = 0 setzen und nach r auflösen. Damit hast Du den Extremwert gefunden. Jetzt mußt Du noch prüfen, ob die zweite Ableitung an dieser Stelle > 0 ist, dann ist es ein Minimum oder < 0, dann ist es ein Maximum. Die Oberfläche ist ja gegeben mit 2 m^2, also hast Du damit den gesuchten Radius gefunden. Jetzt noch h ausrechnen, indem Du den eben errechneten Radius in das vorhin aufgelöste h einsetzt und Du bist fertig.
Du brauchst doch bloß die Oberflächenformel gleich 2 setzen. Dann kannst Du sie nach h auflösen. Und den so erhaltenen Ausdruck für h in die Volumenformel einsetzen. Dann diese ableiten um den Extremwert für r zu finden.