Matheaufgabe "Die Regentonne"?
Eine oben offene Regenrinne hat eine Oberfläche von 2m². Bestimmen Sie den Radius und die Höhe der Tonne so, dass sie ein maximales Volumen besitzt.
Kann mir irgendjemand helfen?
2 Antworten
regenrinne oder regentonne?
Hallo,
bei der Tonne handelt es sich wohl um einen zylinderförmigen Körper.
Die Oberfläche besteht aus dem Boden (der Deckel fehlt) und dem Mantel, der ein aufgerolltes Rechteck ist.
Boden: F=πr²
Mantel: 2πr*h, also ein Rechteck, das aus dem Kreisumfang und der Höhe gebildet wird.
Das Volumen berechnet sich nach der Formel: V=πr²*h
Das Volumen soll maximal werden, ist aber von zwei Variablen abhängig, nämlich von r und von h.
Die Aufgabe besteht darin, mit Hilfe der Nebenbedingung:Oberfläche=2m² eine der beiden Variablen zu eliminieren und die so entstandene Zielfunktion zu maximieren, also die Ableitung zu bilden und auf Null zu setzen.
Die Oberfläche hat die Formel: O=πr²+2πr*h=2 m²
2πr*h=2-πr²
h=(2-πr²)/(2πr)=2/(2πr)-πr²/(2πr)=1/(πr)-r/2
Das wird nun für h in die Formel für die Oberfläche eingesetzt und wir erhalten so die Zielfunktion f(r):
f(r)=πr²*(1/(πr)-r/2)=r-πr³/2
f'(r)=1-(3/2)πr²
Diese Ableitung wird nun auf Null gesetzt, um die Extremstellen und damit ein eventuelles Maximum zu ermitteln:
1-1,5πr²=0
1,5πr²=1
πr²=2/3
r²=2/(3π)
r=√(2/(3π))=0,46 m
Dann ist h=1/(0,46π)-0,23=0,46, also genau so groß wie r.
Zu prüfen wäre noch, ob hier tatsächlich ein Maximum vorliegt. Dazu wird f''(r) gebildet und der gefundene Wert für r eingesetzt. Ist das Ergebnis <0, liegt tatsächlich ein Maximum vor.
f''(r)=-3πr. Da sowohl π als auch r positiv sind, ist -3πr auf jeden Fall negativ, so daß der Wert gar nicht erst eingesetzt werden muß, um nachzuweisen, daß an der berechneten Stelle ein Maximum vorliegt.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen Dank für die ausführliche Antwort :) hat mir sehr geholfen!!
ist der Körper aber nicht eher ein halber Zylinder? Schließlich muss er oben offen sein, damit das Wasser reinfallen kann...