Exponentialfunktion Steigend und Fallend ab wann?

Hi Leute.

Ab wann ist eine Exponentialfunktion steigend, und ab wann fallend? und Warum?

Also zb b<1: Zerfall

b>1: Wachstum

Aber Warum?

Answer 1

[evtldocha]

Ich versuch es mal anhand der Zinseszinsformel zu erklären:

$K\left(x\right)=K_0\left(1+p\right)^x$

Wenn Du Zinsen zahlen musst (Zinssatz p negativ) wird Dein Anfangskapital K₀ immer kleiner - zerfällt quasi. Wenn der Zinssatz p negativ ist, dann:

$\left(1+p\right)\ =b\ <\ 1$

Wenn Du Zinsen gutgeschrieben bekommst (Zinssatz p positiv) wird Dein Anfangskapital K₀ immer größer - wächst also. Wenn der Zinssatz p positiv ist, dann:

$\left(1+p\right)\ =b\ >1\$

Weiterer Versuch einer Erklärung:

Ein anderer Ansatz der Erklärung geht über die Umschreibung der Funktion zur Basis b in eine e-Funktion:

Jede Exponentialfunktion zu einer beliebigen Basis kann man umschreiben in eine Exponentialfunktion zur Basis e:

$N_0\cdot b^x\ =\ N_0\cdot e^{\ln\left(b\right)\cdot x}$ Nun ist ln(b) < 0 sobald b<1 und damit steht im Exponenten der Funktion etwas wie:

$N=N_0\cdot e^{-kx}\$ und das ist eine abnehmende Funktion und beschreibt einen Zerfallsprozess. Analog ist wegen ln(b) >0 für b>1 die Funktion zunehmend und beschreibt einen Wachstumsprozess.

Skizze: Einmal mit negativem Exponenten und einmal mit positivem Exponenten

Answer 2

[Aurel8317648]

Habe anscheinend deine Angaben nicht genau genug gelesen, denn du meinst anscheinend die Exponentialfunktion in der Form

y(t) = a * b^t und nicht in der Form

y(t)= a * e^(b*t)

Mein Beitrag gilt halt für die letztere Form

Exponentialfunktion steigend:

y(t)= a * e^(b*t)

Wenn b positiv ist steigt der Funktionswert y mit steigendem t

Exponentialfunktion fallend:

Wenn b negativ ist, kann man b so umschreiben:

b = -lbl ..... minus Betrag von b

Dann lautet die Exponentialfunktion:

y(t)= a * e^(-lbl*t) =

y(t)= a / e^(lbl*t)

Hier ist es so dass der Funktionswert y mit steigendem t fällt