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Wir haben eine Mathe Hausaufgabe die ich mit einem freund nicht verstehe. Könnt ihr uns vlt. helfen? Frage: Unter günstigen Bedingungen haben Wanderratten eine Generationszeit von 45 Tagen A: Wie groß wäre eine Population von 10 Wanderraten nach 3 Monaten und 1 Jahr B: Wie viele Monate dauert es, bis eine Population von 80 Millionen ( Einwohnerzahl der BRD) erreicht wurde? C: Um wie viel % nimmt die Population pro Monat zu? löse Grafisch. Berechne mit der Monatlich prozentualen Zunahme die Population der Ratten in 3 Monaten, bzw. 1 Jahr und vergleiche sie mit den Ergebnissen der Aufgabe A. Für hilfreiche tipps oda gar Lösungen wären wir sehr dankbar weil wir haben bei dem thema ein totales Brett vor dem Kopf
3 Antworten
A)
Generationszeit ist die Zeit, in der sich die Anzahl der Lebewesen einer geschlosenen Population verdoppelt.
Dies ist hier nach tg = 45 Tagen der Fall, bzw. wenn wir in Monaten rechnen wollen, nach tg = 1,5 Monaten.
In diesem Zeitraum nimmt die Population um 100% zu, der "Zinssatz" beträgt also 100% in 45 Tagen.
Aus der Zinseszinsformel können wir dann berechnen:
Kn = Ko * (1 + p)^n,
mit
Kn : Anzahl Individuen nach n Generationszeiträumen (soll bestimmt werden)
Ko : Anzahl Individuen zu Beginn der Betrachtung (hier: 10)
p : prozentualer Zuwachs je Generationszeitraum (hier: 100 % = 100 / 100 = 1)
n : Anzahl Generationszeiträume (hier: 3 Monate / 1,5 Monate = 2)
Daraus ergibt sich:
Kn = 10 * (1 + 1)^2
= 10 * 2^2
= 10 * 4 = 40
Nach 3 Monaten hat man also 40 Individuen.
.
In einem Jahr (12 Monate / 1,5 Monate = 8 Generationszeiträume) wächst die Population auf
Kn = 10 * 2^8 = 2560
Individuen an.
.
B)
Hier muss man nun das n (Anzahl der Generationszeiträume) bestimmen, sodass gilt
80.000.000 = 10 * (1 + 1)^n
<=> 8.000.000 = 2^n
<=> n = log_2( 8.000.000 )
<=> n = 22,93 ... Generationszeiträume.
Da ein Generationszeitraum 1,5 Monate umfasst, gilt, dass nach
22,93 * 1,5 Monaten = 34,4 Monaten
aus 10 Individuen eine Population von 80.000.000 Individuen enstanden ist.
.
C)
Hier ist gefragt, wie groß der prozentuale Zuwachs p ist, wenn n nur 1 Monat (also 1 Monat / 1,5 Monate = 2 / 3 Generationszeiträume) groß ist.
Nach einem Monat hat man:
Kn = 10 * 2^(2/3) = 10 * 1,5874... = 15,874... Individuen.
Daraus können wir nun den monatlichen prozentualen Zuwachs p bestimmen (der Wachstumszeitraum beträgt jetzt nur noch 1 Monat):
15,874... = 10 * ( 1 + p )^1
<=> 1,5874... = 1 + p
<=> p = 0,5874...
Der monatliche Zuwachs beträgt also 58,74... %.
.
Setzen wir das in die Zinseszinsformel ein und berechnen wir damit nun noch einma die Anzahl der Individuen nach a) 3 Monaten und nach b) 1 Jahr (12 Monate), dann erhalten wir:
a)
Kn = 10 * ( 1 + 0,5874... )^3
= 40 Individuen
und
b)
Kn = 10 * ( 1 + 0,5874...)^12
= 2560 Individuen.
.
Der Vergleich mit den Ergebnissen aus A ergibt Übereinstimmung, was auf die Korrektheit der Berechungen hinweist.
Ich nehme mal an, dass sich die Ratten alle 45 Tagen verdoppeln. Das mit dem Monat ist etwas ungenau, da dieser ja 28, 29, 30 oder 31 Jahre haben kann. Geht man von einem monat von 30 Tagen aus, dann verdoppeln sie sich alle 3/2 Monate. also führt das zur Funktion. f(t)=10(2^((2/3)t)), t in Monaten. A: einfach 15 Moate in die Funktion einsetzen. B: f(t)=8010^6, nach t auflösen. C: schau dir das Schaubild an.
Jede Wanderratte bekommt nach 45 Tagen ein Junges würde ich mal vermuten.