Existiert die dritte Wurzel aus -8?
Ich hatte diese Frage schon vor ein paar Jahren mal in einem Forum beantwortet und ausführlich erklärt, dass Wurzeln nur für nicht negative Zahlen definiert sind, auch ungerade Wurzeln. Daraufhin brach ein Shitstorm auf mich ein, wie ich denn so etwas behaupten könne, und mich würde einfach mal interessieren, wie weit dieser Unsinn immer noch verbreitet ist.
8 Antworten
Der Definition der Wurzel im Reellen liegt folgender Satz zugrunde: Zu jeder reellen Zahl c>=0 und jeder natürlichen Zahl n existiert genau ein reelles x>=0 mit x^n = c
Dieses x heißt n-te Wurzel aus c.
Eine andere Definition wäre nicht sinnvoll, schon wegen der Eindeutigkeit der Funktion, z.B. ist die Wurzel aus 4 nicht +2 oder -2 sondern nur +2.
Eine Ausdehnung der Definition für solche Fälle wie dritte Wurzel aus -8 ist vor allem deshalb nicht sinnvoll, weil bei der Abänderung des Exponenten von (-8)^(1/3) nichts sinnvolles mehr herauskäme. Was soll das Ergebnis sein, wenn man 1/3 um einen sehr kleinen Betrag abändert. Deshalb existiert die dritte Wurzel aus -8 nicht. Die Definition der Wurzeln wird im Reellen ja auf einen beliebigen Exponenten ausgedehnt und man hat eine Stetigkeit hinsichtlich des Exponenten als Variable. Diese wäre bei einer negativen Basis verletzt.
Ganz anders sieht die Sache im Komplexen aus. Man verwendet hier dasselbe Wurzel-Symbol, aber das Ergebnis ist in reellen Fällen nur zum Teil mit der Definition aus dem Reellen identisch. Zum Beispiel ist hier die Wurzel aus 4 tatsächlich ± 2. Die Eindeutigkeit der Wurzelfunktion wird durch die Einführung der Riemannschen Flächen erreicht. Bei Quadratwurzeln hat man eine 2-blättrige Riemannsche Fläche, bei einer dritten Wurzel eine 3-blättrige Fläche. Ändert man den Exponenten z.B. auf eine irrationale Zahl ab, hat man eine unendlich blättrige Fläche. Im Komplexen kann man nicht eine der n Lösungen von z^n = c (wobei hier c eine komplexe Zahl ist) besonders auszeichnen. Die Fragestellungen sind hier anderer Natur.
Quintessenz: Du hast völlig recht, die Verwirrung kommt nur daher, weil man im Komplexen dasselbe Wurzelsymbol wie im Reellen verwendet.
Meine Ausgabe des Bronstein ist von 1996 und da steht in Kapitel 0.1.9:
"n-te Wurzeln: Gegeben sei eine positive reelle Zahl a. Dann ist x=a^(1/n) die eindeutige Lösung der Gleichung
x^n = a mit x>=0 "
In Kapitel 1.1.2.4 steht dann die Definition im Komplexen. Es sind dies die n Lösungen der „Kreisteilungsgleichung“ z^n = a . Sie werden dort explizit in trigonometrischer Darstellung aufgeführt.
Angewendet auf 3-te Wurzel aus -8:
Nach der 1. Definition ist dies nicht definiert, nach der 2. Definition sind dies gleichberechtigt die 3 Werte
2 * [cos((2πk - ϕ)/3)+ i sin((2πk + ϕ)/3)] für k=0,1,2
wobei ϕ das Argument von -8 ist, also π. Damit ergeben sich für k=0,1,2 die 3 Werte
1-√3i, 1+√3i, -2
Soweit Bronstein.
Nun zur Sinnhaftigkeit einer möglichen Ausdehnung der Definition im Reellen gemäß:
Ist a eine negative reelle Zahl und n eine ungerade natürliche Zahl, so ist a^(1/n) definiert als - |a|^(1/n)
Formal hast du mit dem Beispiel ln(x²+1) recht. Meine Darstellung war etwas verkürzt. Hier kommt es aber darauf an, ob Gesetzmäßigkeiten auch dann noch gelten, wenn man eine – formal willkürliche – Definition ausweitet. Der Satz:
„Ist x_k eine reelle Zahlenfolge mit dem Grenzwert x so gilt:
lim a^(x_k) = a^x “
gilt dann nicht mehr. In meiner Antwort habe ich etwas anders formuliert. Diese Formulierung stammt aus Bronstein, Kapitel 0.1.9 gleich nach der Definition der n-ten Wurzel.
Mit dieser Ausweitung der Definition ∛(-8) = -2 würden also die Sätze aus der Formelsammlung nicht mehr gelten und ist somit eine theoretisch wie praktisch schädliche Definition.
Außerdem gelten dann nicht mal mehr Standard-Rechenregeln. Man formt ja x^(1/n) = a gern um in
1/n * log(x) = log(a)
Man hat dann Logarithmen von negativen Zahlen. Sagt man jetzt, na ja, nehmen wir halt den Hauptwert gemäß der Funktionentheorie, dann kommt man vom Regen in die Traufe, weil die Ergebnisse falsch werden. Je länger ich es mir überlege, umso unsinniger erscheint mir die Definition von ∛(-8) = -2.
Ergänzung: Was mir bei der Durchsicht noch aufgefallen ist: Den Kommentar von Messerset zur Antwort von YStoll kann man auch so formulieren: Wenn man ∛(-8) = -2 definiert, gelten die üblichen Potenzgesetze nicht mehr. Da beißt die Maus keinen Faden ab.
Dies entspricht der Beobachtung, dass die Logarithmengesetze im Komplexen nicht gelten, wie ich am Schluss meines Kommentars andeutete.
Das kommt ganz drauf an welchen Zahlenbereich man für das Ergebnis zulässt im reellen Bereich R ist eine negative Wurzel tatsächlich nicht definiert. Im komplexen Zahlenbereich C dagegen sehr wohl. Hier wäre Wurzel(-8) = 2.8284i
Ich meinte natürlich nur die reellen Zahlen, aber ich bin mir gar nicht mal so sicher, ob du Recht hast.
Sicherlich hat die Gleichung x^2=-1 im Komplexen eine Lösung. Das ist mir auch klar. Aber die Quadratwurzel ist nun einmal nicht für negative Zahlen definiert.
Es steht dritte Wurzel in der Angabe und nicht Quadratwurzel ;)
Sie existiert nicht, lässt sich aber durchaus berechnen, mit komplexen Zahlen. Die sind für genau das erfunden worden
Doch, sie existiert. Nämlich -2, was eine reelle, ja sogar ganze Zahl ist.
Ja, ich habe natürlich fälschlicherweise Quadratwurzel gelesen
Es ging um die dritte Wurzel und die ist -2.
Wenn etwas nicht existiert (nicht definiert ist), lässt es sich auch nicht berechnen.
Ja. Nämlich "-2"
ja, weil -2 zum Quadrat -8 ergibt und nicht 4...Herr lass Hirn regnen
So weit ich mich recht entsinne gibt (-2)³ = -8, aber du scheinst es wohl besser zu wissen.
Dann les doch einfach nochmal die Frage durch.
Dort steht ganz klar, ob man die DRITTE! Wurzel aus -8 ziehen darf.
Diese ist dann -2. Entweder holst du dir nen Taschenrechner und gibst das ein oder wir machen eine Gegenprobe.
(-2)^3 = (-2)*(-2)*(-2) = -8
Es geht um die dritte Wurzel. Und, große Überraschung: (-2)³ = -8
Ich mache einfach mal Copy and Paste, damit ihr nicht doof sterbt.
Du hast es immer noch nicht richtig verstanden, was ja nicht schlimm ist.
(-8)^(1/3) kann überhaupt keine Lösung haben, weil es sich hier lediglich um eine Zahl handelt und nicht um eine Gleichung.
Gleichungen können mehrere Lösungen haben, genau eine oder auch gar keine. Eine Zahl ist entweder definiert oder eben nicht.
Selbstverständlich hat die Gleichung x^3=-8 eine reelle Lösung. Nämlich -2. Darum geht es hier aber gar nicht. Es geht darum, ob der Ausdruck (-8)^(1/3) überhaupt definiert ist. Und das ist er eben nicht.
Beweis: Angenommen es sei
(-8)^(1/3)=-2, dann ist auch
(-8)^(2/6)=-2, dann ist aber nach den Potenzgesetzen
((-8)^2)^(1/6) = -2, und das heißt
64^(1/6)=-2, und (du siehst schon, wie der Hase läuft?
2=-2, und das ist ganz offensichtlich ein Widerspruch zu Annahme.
Das kann ich auch:
-2 = (-2)¹ = (-2)^(²/₂) = √[(-2)²] = √4 = +2
Du solltest Deinen "Beweis" noch etwas überarbeiten, damit Du nicht doof stirbst :-)
Schau dir mal komplexe Zahlen an
Bronstein; Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 20. Aufl. 1981, Kapitel 1.2.1.3. Irrationale algebraische Funktionen
Dort werden die Funktionen y=x^k für rationale k definiert. Abb. 1.20 zeigt u.a. den Graphen für k=1/3 auf ganz |R.
Ich finde diese Definition äußert sinnvoll und habe auch mit der Konvention ∛x = x^⅓ keine Probleme. Fazit:
∛(-8) = -2
Ebenso könntest Du argumentieren, dass ln(x²+1) für x<0 nicht definiert ist, denn wenn man den Exponenten in 2+𝜀 abändert...